Главная > Разное > Метод конечных элементов для радиоинженеров и инженеров-электриков
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

6.2.7. Приложения к акустическому резонатору кубической формы

Интересно рассмотреть элементарный результат, который можно получить для кубического акустического резонатора, считая его всего одним подобным «кирпичиком». Как было показано в гл. 2, такая задача описывается дифференциальным уравнением в частных производных вида (см. уравнение (2.157))

где избыточное давление изменяющееся с частотой удовлетворяет граничным условиям Неймана на жестких стенках акустического резонатора. Волновое число связано с резонансной частотой и скоростью звука соотношением

Нетрудно проверить, что для прямоугольной призмы аналитическое решение с единичной амплитудой имеет вид

где соответствуют акустическим модам резонатора и принимают значения Резонансная частота определяется с помощью формулы (6.67) с учетом того, что

Матричное уравнение, эквивалентное уравнению (6.76), имеет вид

Если в этом уравнении является вектором значений в восьми узлах прямоугольной призмы, то матрицы определяются выражениями (6.59) и (6.75). Хотя каждый из восьми узлов лежит на границе области задачи, никаких дополнительных ограничений не возникает, поскольку применяются граничные условия Неймана.

Таким образом, собственные значения соответствующие акустическим модам, находятся из условия обращения в нуль детерминанта

Для куба со стороной а находим, что

где

Из формулы (6.82) можно видеть, что условие приводит к алгебраическому уравнению восьмой степени относительно X, которое имеет восемь корней, определяющих значения для первых восьми акустических мод. Обычно для нахождения корней следует использовать расчеты на ЭВМ. Однако в данном случае из-за предельной простоты задачи уравнения можно составить и решить аналитически. Отметим, что в матрице суммы элементов по строкам (и столбцам) всегда равны нулю, так что суммы столбцов определителя составляют попеременно Нетрудно при этом получить следующее выражение для детерминанта:

Уравнение имеет два несовпадающих корня и пару тройных корней. Из табл. 6.2 видно, что характер поведения корней соответствует симметрии аналитического решения (6.79).

Таблица 6.2. (см. скан) Сравнение точных собственных значений с приближенным матричным восьмимодовым решением

Одно из решений тривиальное — Затем с приемлемой точностью получается трижды вырожденная основная мода. И далее идентификация мод сохраняется, т. е., как и следовало ожидать, получаются трижды вырожденная мода и одиночная мода. Однако точность определения величины с ростом индексов уменьшается. Это естественно, так как с помощью столь простой модели, обладающей всего восемью степенями свободы, нельзя определить более восьми мод из бесконечного их множества.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление