Главная > Разное > Метод конечных элементов для радиоинженеров и инженеров-электриков
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

6.2.6. Матричные уравнения для прямоугольной призмы

В данном разделе определяются матрицы соответствующие восьми узлам, расположенным в вершинах призмы с боковыми гранями с длинами Приведенный здесь пример выбран для того, чтобы пояснить, как представленный ранее анализ используется практически при решении реальных задач. В разд. 6.2.7 показано, что при этом достигается соответствие между результатами расчета прямоугольного акустического резонатора и аналитического расчета, основанного на хорошо изученной физике подобных устройств. Рассматриваемая задача относится к одному из тех редких случаев, когда расчеты можно выполнить без применения ЭВМ. Тем не менее данный пример позволяет выявить много характерных моментов, которые возникают при составлении программ для задач с более сложной геометрией.

Для составления матричных соотношений примем, что призма состоит из пяти соединенных тетраэдров первого порядка. Как показано на рис. 6.4, призма разбита на тетраэдры таким образом, что четыре из пяти тетраэдров конгруэнтны, поскольку любой из них путем вращения и перемещения может быть точно совмещен с любым из остающихся других трех тетраэдров. Для первых четырех элементов принята система обозначения узлов, согласующаяся с отмеченной конгруэнтностью. Объем каждого из этих элементов равен Пятый элемент отличается от указанных четырех.

Рис. 6.4. а) Прямоугольная призма с объемом . Показаны выделенные элементы 1, 2, 3 и 4 соответственно. Они конгруэнтны и объем каждого составляет Элемент 5. Его объем равен Нумерация в а) соответствует соединенному набору тетраэдров, а нумерация в б) — е) приведена для разъединенной системы элементов.

Он находится внутри призмы и только ребрами касается ее внешней поверхности. Объем пятого элемента равен

Рис. 6.5. Элемент I, совмещенный с декартовой системой координат.

Матрица связи С определяется уравнением где вектор, компонентами которого являются 20 значений для пяти разъединенных элементов, вектор, соответствующий восьми узлам, расположенным в вершинах призмы. Из рассмотрения задачи следует, что

(см. скан)

Используя -матрицу для случая приведенную в табл. 6.1, можно непосредственно получить

Используя далее соотношение

и выражения (6.56) и (6.57), можно легко проверить, что

Процедура определения в принципе столь же проста, но более громоздка. Вначале рассмотрим 1-й элемент, изображенный отдельно на рис. 6.5, где показана также система используемых декартовых координат. Очевидно, что симплексные координаты следующим образом выражаются через

декартовы:

Поскольку в общем случае (см. формулы (6.21))

где V — объем элемента (в данном случае равный получаем для коэффициентов

Подставляя в формулу (6.38) полученные значения коэффициентов и объема элемента, находим для элементов матрицы

следующие выражения:

С помощью табл. 6.1 можно видеть, что

Для получения остальных пяти матриц можно было бы записать матрицы вращения (см. разд. 6.2.4) и соответственно преобразовать Однако в данном простом случае непосредственно видно, что определяются соотношениями

а все остальные элементы равны нулю. Поэтому матрица для первого элемента в соответствии с (6.40) равна

или в явном виде

Это выражение можно представить в форме

где Матрицы идентичны Рассмотрим теперь пятый элемент, изображенный отдельно на рис. 6.6, где показаны также оси декартовых координат.

Рис. 6.6. Элемент 5, совмещенный с декартовой системой координат.

В этом случае симплексная координата определяемая формулами (6.15), (6.18) и (6.19), равна

или

Аналогично

Используя формулы (6.21), (6.38) и обозначения формулы (6.66) и учитывая, что в данном случае объем элемента получаем для элементов

Имея в виду выражение (6.40) для и принимая во внимание, что получаются с помощью перестановки (2.63), для пятого элемента легко находим

Таким образом, матрицу можно записать в виде

где матрицы размерностью 4X4, определяемые формулами (6.66) и (6.73). Теперь можно записать требуемую матрицу При этом матрица С по-прежнему определяется выражением (6.56). Соответствующие алгебраические преобразования не особенно громоздки, но требуют при выполнении определенного внимания. Результат

вычисления имеет вид

Получив матрицы для базового «кирпичика» размером можно с помощью еще более простых операций соединения складывать из таких «кирпичиков» довольно сложные трехмерные структуры. Таким образом, матричные методы дают возможность решать трехмерные задачи, сводящиеся к неоднородному уравнению Гельмгольца с одной переменной.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление