Главная > Разное > Метод конечных элементов для радиоинженеров и инженеров-электриков
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

6.2.4. Вычисление матриц T и Q

Выражения (6.35) и (6.39) совместно с формулами (6.22) и (6.23) для интерполяционных полиномов позволяют вычислить коэффициенты для значений тип, соответствующих числам ряда где степень аппроксимирующего полинома, а также для значений соответствующих числам ряда При выполнении указанных операций приходится вычислять интегралы вида

В более явном виде

Интегрируя по частям это выражение, получаем

Используя выражение (6.35), можно получить тензор путем перемножения универсальной числовой матрицы на объем тетраэдра

Очевидно, что тензор симметричен, однако имеют место и другие симметрии, позволяющие получить дальнейшую экономию в вычислениях благодаря тому, что на матрицу совершенно не влияют конкретные значения симплексных

координат Наличие таких еимметрий покажем на примере тетраэдрального элемента второго порядка, представленного на рис. 6.2.

Вершины тетраэдра можно обозначить с помощью индексов принимающих значения 1, 2, 3, 4. Ребра тетра эдра обозначаются одной из шести пар индексов точки (их число обозначены составными индексами На этом же рисунке приведена произвольно выбранная одноиндексная схема с индексами То, что далее используется система обозначений с одним индексом, несущественно, хотя при использовании матриц, представленных в таком виде, надо знать соответствующий «код». Описанная здесь система обозначений с одним индексом была впервые предложена Сильвестером II] и впоследствии распространена на аппроксимации более высоких порядков. С помощью рис. 6.2 можно видеть, что в случае аппроксимации второго порядка необходимо вычислить лишь элементы . Из 100 элементов матрицы все прочие элементы будут определяться теми или иными комбинациями из семи приведенных выше, потому что остающиеся пары индексов всегда могут быть идентифицированы с одной из этих семи при взгляде на тетраэдр с какой-либо другой стороны и соответствующей перестановке в составных индексах. Возвращаясь к матрице можно заметить, что для получения массива из выражения (6.40) необходимы коэффициенты для каждой из шести пар индексов которые представляют ребра тетраэдра. Коэффициенты не зависят от формы и размера тетраэдра, а определяются природой взаимного расположения ребра и узловых точек тип. Выбор обозначений для ребер тетраэдра и узловых точек не должен влиять на результаты вычислений Следовательно, каждый массив можно получить путем перестановок одного набора чисел, например Процедуру получения всех матриц из лучше всего пояснить на конкретном примере. С этой целью рассмотрим уже использовавшийся тетраэдр с одноиндексной системой обозначений для случая (рис. 6.3).

Рис. 6.2. Возможные способы нумерации узлов тетраэдра при аппроксимации полиномом второго порядка.

Предположим, что набор чисел известен. Сравнивая фигуры на рис. 6.3, а и б, видим, что выполняется, например,

соотношение

Так как числа в матрице определяются только относительным положением точек ребра а не конкретными значениями присвоенных им индексов, в рассматриваемом примере одно и то же число соответствует ребрам, показанным на рисунке жирной линией, в сочетании с двумя узловыми точками, обведенными кружками.

Рис. 6.3. а) Тетраэдр второго порядка, б) Тот же театраэдр после поворота вокруг оси

Можно доказать, что свойство (6.47) является следствием более общего соотношения, полученного с помощью полной перестановки матричных элементов

где матрица вращения:

а - транспонированная матрица Обозначение относится к перестановке индексов вершин, соответствующей правому направлению вращения вокруг оси При этом вершина 1 сохраняет свое обозначение, тогда как вершины 2, 3 и 4 получают новые обозначения 4, 2 и 3 соответственно. Перестановки меняют обозначения вершин 1, 2, 3, 4 на 3, 2, 4, 1, 4, 1, 3, 2 и на 2, 3, 1, 4 соответственно. С

учетом геометрических соотношений, вытекающих из рис. 6.3, и равенства можно доказать, что в дополнение к нужны еще пять других матриц:

Конечно, вычислять все 100 элементов с самого начала нет необходимости.

Таблица 6.1. (см. скан) Элементы матриц (иаддиагональная часть) и матриц (поддиагональная часть), умноженные на соответствующие значения детерминантов и для

Благодаря симметрии, которая уже обсуждалась ранее применительно к матрице вычислять отдельно приходится только несколько элементов матрицы Из рис. 6.3, а легко выявить те элементы, которые не надо рассчитывать. Так, например, видно, что

Матрица и матрица соответствующие одноиндексной системе обозначений, показанной на рис. 6.2 и 6.3, протабулированы для и приведены в табл. 6.1.

Элементы матриц можно получить, относя представленные в табл. 6.1 числа к соответствующим значениям детерминантов. Несколько более громоздкие матрицы для случая также были получены Сильвестером [1]. Расчет матриц при сложен и его следует выполнять на ЭВМ. При расчетах пользуются целыми числами, чтобы исключить неопределенности округления.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление