Главная > Разное > Метод конечных элементов для радиоинженеров и инженеров-электриков
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

6.2.2. Интерполяционные полиномы

Как и при решении двумерных задач (см. гл. 3), исполь зуем интерполяционные полиномы

где причем как и в уравнении (3.9)

Легко проверить, что является интерполяционной функцией и полиномом степени Она обращается в нуль в ряде регулярно расположенных точек при целых значениях если кроме случая когда

6.2.3. Матричные соотношения для отдельного тетраэдра

Очевидно, что, используя свойства описанных выше интерполяционных функций, можно аппроксимировать полиномом степени потенциальную функцию в пределах тетраэдра

В этом выражении целые положительные числа или нули, сумма которых равна представляет ряд не определенных пока значений функции в регулярно расположенных точках интерполяции внутри тетраэдра или на его гранях. Используя доводы, аналогичные приведенным при рассмотрении двумерного случая, можно убедиться в непрерывности на границах смежных тетраэдров в ансамбле конечных элементов порядка. Слагаемое в правой части уравнения (6.12) можно аппроксимировать с помощью интерполяционных функций выражением

Аппроксимации (6.25) и (6.26) можно подставить в выражение (6.13) для функционала соответствующее неоднородному уравнению Гельмгольца. Затем из условия стационарности получаем

для значений составного индекса Решение системы уравнений (6.27) приводит к ряду значений которые можно вполне обоснованно считать наилучшим приближением полиномиальной функции (6.25) к точному решению уравнения Гельмгольца (6,12). Теперь покажем, что систему уравнений (6.27) можно записать в виде матричного уравнения

в котором представлены как векторы В итоге получаем расширение области применения уравнения (3.21) на трехмерный случай. Уравнения (6.25) и (6.26) можно записать, пользуясь одним индексом

Тогда

и функционал (6.13) принимает вид

При этом предполагается, что характеристика материала остается постоянной в пределах тетраэдра. В матричной форме уравнение (6.32) имеет вид

Теперь видно, что, применив условие стационарности (6.27) к уравнению (6.32), можно получить матричное уравнение (6.28). Остается вычислить матрицы представляющие собой обобщения матриц, введенных в гл. 3.

Интегрирование в выражениях (6.32) и (6.33) должно выполняться по объему тетраэдра и по трем пространственным координатам, например декартовым , так что Для формального перехода к интегралу в пространстве симплексных координат , необходимо заменить на

аналогично тому, как это сделано в двумерном случае, рассмотренном в приложении. Здесь

является якобианом преобразования координат (6.21). Выбор именно в качестве однородной координаты, исключаемой с помощью соотношения (6.17), совершенно произволен. Можно было бы выбрать любую другую комбинацию трех величин из набора Можно показать, что величина якобиана (6.36) составляет Поэтому для вычисления объемных интегралов (6.34) и (6.35) по симплексным координатам следует заменить на . Таким образом, с помощью выражения (6.21) выражение (6.34) можно записать в виде

где

Понятно, что, если появляется где-либо в явном виде в формуле (6.37), его следует заменить на Введем обозначение

с помощью которого формулы, полученные в гл. 3 для двумерного случая, можно распространить на случай трехмерных задач. Оказалось, что выражение (6.37) можно представить в виде

где составляют некоторый универсальный числовой массив, который можно рассчитать для любого порядка По полиномиальной аппроксимации, тогда как массив содержит все специфические сведения о форме, размерах и положении тетраэдра. Суммирование в формуле (6.40) включает лишь шесть индексных пар которые соответствуют шести ребрам тетраэдра, причем диагональные элементы тензора не дают вклада в сумму. Выражение (6.40) можно проверить, используя линейную зависимость между четырьмя симплексными координатами 1. При этом сумма каждого из коэффициентов и определяющих выражение (6.21), равняется нулю

Поэтому ясно, что нет необходимости вычислять независимо диагональные элементы тензора их можно вычислить с помощью недиагональных элементов. При этом

и т. п. Поскольку тензор симметричен, формулу (6.37) можно преобразовать, заменяя диагональные элементы выражениями (6.42) и элементы вида на Группируя члены суммы, можно убедиться, что внедиагональное суммирование в соотношении (6.40) равносильно суммированию в формуле (6.37).

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление