6.2.1. Трехмерные симплексные координаты
Как и в двумерных задачах, симплексные координаты используются для того, чтобы отделить важнейшие свойства одиночного симплексного элемента (рис. 6.1), обусловленные его тетраэдральной формой, от свойств, характеризующих конкретную конфигурацию, размеры и положение элемента в пространстве. Тетраэдральные координаты определяются следующим образом. Пусть
точка, расположенная внутри тетраэдра, имеющая декартовые координаты
а
-объем тетраэдра. Рассмотрим четыре меньших тетраэдра, каждый из которых образован тремя из четырех
исходных вершин
, и общей точкой
Обозначим объемы этих тетраэдров через
Тогда симплексными координатами точки
будет набор величин
где
и т. д. Понятно, что эти четыре координаты не будут линейно независимы, поскольку они удовлетворяют соотношению
Рис. 6.1. Тетраэдральный симплексный трехмерный конечный элемент.
Заметим, что
а для
и
имеют место аналогичные выражения. Следовательно, можно записать соотношение
в котором
миноры, соответствующие определителям (6.19) и (6.20). Таким образом, система координат
определена в явной форме через декартовы координаты вершин тетраэдра.