6.2.1. Трехмерные симплексные координаты

Как и в двумерных задачах, симплексные координаты используются для того, чтобы отделить важнейшие свойства одиночного симплексного элемента (рис. 6.1), обусловленные его тетраэдральной формой, от свойств, характеризующих конкретную конфигурацию, размеры и положение элемента в пространстве. Тетраэдральные координаты определяются следующим образом. Пусть точка, расположенная внутри тетраэдра, имеющая декартовые координаты а -объем тетраэдра. Рассмотрим четыре меньших тетраэдра, каждый из которых образован тремя из четырех исходных вершин , и общей точкой Обозначим объемы этих тетраэдров через Тогда симплексными координатами точки будет набор величин где

и т. д. Понятно, что эти четыре координаты не будут линейно независимы, поскольку они удовлетворяют соотношению

Рис. 6.1. Тетраэдральный симплексный трехмерный конечный элемент.

Заметим, что

а для и имеют место аналогичные выражения. Следовательно, можно записать соотношение

в котором миноры, соответствующие определителям (6.19) и (6.20). Таким образом, система координат определена в явной форме через декартовы координаты вершин тетраэдра.