Главная > Разное > Метод конечных элементов для радиоинженеров и инженеров-электриков
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

6.2. Тетраэдральные скалярные элементы

Выше были рассмотрены трудности, возникающие при решении трехмерных задач с векторными функциями. Однако во многих случаях при вычислениях можно пользоваться одной скалярной функцией, и вначале целесообразно рассмотреть именно такие ситуации.

Нестационарные трехмерные скалярные задачи можно классифицировать по способу вычисления потенциала внутри некоторого объема ограниченного электродами, на которых заданы определенные значения потенциалов. Для неоднородной среды, когда диэлектрическая проницаемость и плотность заряда зависят от координат, уравнение для потенциала и имеет вид (см. разд. 2.3)

Определение собственных частот резонатора служит примером расширения области применения скалярной задачи на случай гармонических изменений во времени. В данном случае процесс описывается уравнением

где переменная составляющая давления на частоте ; с — скорость звука, собственные значения, которые необходимо вычислить для определения резонансных частот (см. разд. 2.8).

Как было отмечено в разд. 2.3, уравнения такого типа являются частными случаями неоднородного уравнения Гельмгольца

подчиненного условиям Дирихле или однородным условиям Неймана. (Характеристику материала в уравнении (6.12) не следует путать с переменным давлением в уравнении (6.11).) Выше было также показано, что при 11, удовлетворяющем условиям Дирихле, но иначе никак не ограниченном, функционал

достигает экстремума при совпадении с решением уравнения (6.12)

Вариационный метод решения двумерного неоднородного уравнения Гельмгольца с использованием треугольных конечных элементов рассматривался в гл. 3. В трехмерном случае

используется аналогичная процедура, предложенная Сильвестером [1] и базирующаяся на тетраэдральных элементах. Как будет показано далее, для нахождения массива значений потенциалов в узлах решетки, образованной тетраэдрами, можно составить матричное уравнение. Как и для двумерного случая, такой расчет вначале будет проведен для одного элемента. Значения потенциала при этом будут приближенными из-за того, что внутри тетраэдра и предполагается полиномиальной функцией пространственных переменных. Позже будет показано, каким образом можно распространить результаты, полученные для одного тетраэдра, на ансамбль объединенных элементов.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление