Главная > Разное > Метод конечных элементов для радиоинженеров и инженеров-электриков
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

1.4. Объединение элементов

Итак, описанный выше способ позволяет получить приближенное выражение для энергии элемента через значения потенциалов в узловых точках. Полная энергия совокупности многих элементов в общем случае равна сумме энергий отдельных элементов

Рис. 1.3. а) Смежные треугольные элементы, которые считаются электрически изолированными. б) Смежные треугольные элементы с непрерывнымн потенциалами и соответственно перенумерованными узлами.

Любая сложная модель, составленная из треугольных элементов, может быть построена путем поочередного добавления новых треугольников. Поэтому достаточно рассмотреть, как обеспечивается непрерывность потенциала для случая, когда к уже существующему ансамблю элементов добавляется один треугольный элемент. Для простоты будем полагать, что существующий ансамбль элементов состоит из одного треугольника (1,2,3) (рис. 1.3, а) и к нему должен быть

присоединен треугольник (4,5,6). Так как каждый треугольник характеризуется тремя значениями потенциала, все возможные состояния этой пары элементов описываются вектором-столбцом, содержащим все шесть значений потенциалов в вершинах треугольников:

где индекс указывает на то, что рассматриваются разъединенные элементы (элементы пока не соединены вместе). Полная энергия пары элементов в таком случае равна

Здесь

представляет собой матрицу (матрицу Дирихле) разъединенной пары элементов. Эту матрицу можно записать более кратко в блочной форме

В ансамбле элементов значения потенциалов физически должны быть непрерывными на границах между элементами. Поскольку потенциал в каждом треугольнике аппроксимируется линейной функцией х и у, то вдоль любой стороны треугольника значение потенциала изменяется линейно с расстоянием. Следовательно, требование непрерывности потенциалов удовлетворяется при условии, что значения потенциалов в совпадающих вершинах разных треугольников равны друг другу. Другими словами, потенциал в области элементов, изображенных на рис. 1.3, а, будет непрерывным, если соблюдено равенство потенциалов в вершинах треугольников 1 и 6, 2 и 4. Такое равенство потенциалов косвенно выражено в нумерации узлов четырехугольной области на рис. 1.3,б.

Конечно, нет никакой необходимости в установлении особой связи между номерами узлов треугольников, с одной стороны, и четырехугольников — с другой. Нумерация, показанная на рис. 1.3, является совершенно произвольной.

Требование равенства потенциалов в вершинах (узловых потенциалов) может быть выражено в матричной форме с помощью прямоугольной матрицы С, связывающей потенциалы разъединенных элементов с потенциалами объединенного набора элементов (называемого также связанной системой):

где индексы обозначают соответственно разъединенные и объединенные совокупности элементов. При нумерации точек, показанной на рис. 1.3, это соотношение принимает вид

В соотношении (1.24) опущены матричные элементы, которые обращаются в нуль из-за отсутствия связи между соответствующими вершинами. Подставляя соотношение (1.23) в (1.20), находим выражение для энергии связанной системы элементов

Здесь

представляет матрицу коэффициентов связанной системы элементов. Для связанной системы из двух треугольников, показанной на рис. 1.3,

Нумерации разъединенных и объединенных элементов чаще называют соответственно локальной и глобальной.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление