Главная > Разное > Метод конечных элементов для радиоинженеров и инженеров-электриков
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Глава 6. Трехмерные задачи

6.1. Введение

Некоторые задачи, представляющие практический интерес, обладают симметрией, которая позволяет использовать для их описания две, а не три независимые пространственные координаты. Подобные упрощения возможны для тел вращения с осевым или периферическим возбуждениями поля. Двумерными моделями хорошо аппроксимируются также протяженные цилиндрические объекты с аксиальным возбуждением.

Однако многие реальные устройства такой симметрией не обладают, поэтому для их описания требуются три независимые пространственные координаты и соответствующая полная трехмерная постановка задачи. В настоящей главе рассматриваются методы расчета, связанные с разбиением пространства на конечные элементы, определяемые узловыми точками их вершин. При этом предполагается, что решение задачи с достаточной полнотой представлено значениями параметров, определенными в этих узлах. По-видимому, точность решения задачи таким методом зависит от выбора расстояний между узлами. Поэтому для решения эквивалентных двух- и трехмерных задач потребуется использовать соответственно узлов, где это некоторое число, соответствующее требуемой точности решения. При расчете такой дискретной модели на ЭВМ в трехмерном случае потребуется существенно больший объем памяти центрального процессора и возрастут затраты машинного времени, так что задачу, решаемую в двумерном варианте, вообще невозможно будет решить в трехмерном представлении. В задачах, где используются функции векторных полей, объем вычислений может увеличиться даже в большей степени, чем это обусловлено переходом от Это хорошо видно на примере расчета постоянного магнитного поля с помощью уравнения

для векторного потенциала А, который определяет магнитную индукцию

Этот пример уже обсуждался в разд. 3.5. В двумерной задаче с трансляционной симметрией заданное распределение тока, направленного вдоль оси

приводит к двумерному векторному потенциалу, который также направлен только вдоль оси

Отметим, что вектор, определяемый уравнением (6.4), тождественно удовлетворяет условию Кулона

Таким образом, получаем скалярное уравнение для скалярной функции, зависящей от двух переменных:

Векторная природа данной задачи не проявляется до тех пор, пока не определено А(х,у). Отметим, что вычисление на ЭВМ вектора магнитной индукции В в соответствии с уравнением (6.2) не является дорогостоящей операцией. При рассмотрении трехмерной задачи оказывается, что в каждом узле необходимо вычислять все три составляющие вектора А, и поэтому число переменных вместо (в двумерном случае) становится равным Можно, конечно, применить условие, аналогичное (6.5), что, возможно, позволит уменьшить объем вычислений. Однако векторное описание задачи обеспечивает симметричный набор переменных и более простые граничные условия. Выигрыш от этого, по крайней мере в настоящее время, превосходит всю ту экономию, которую можно получить, используя условие (6.5).

В нестационарных задачах электромагнетизма весь набор переменных представляется вектором А и скалярным потенциалом V (см. разд. 2.2). Векторы напряженности электрического поля и магнитной индукции определяются в этом случае уравнениями

Используя условие Лоренца

можно-фактически свести данную задачу, которая на первый взгляд требует нахождения четырех независимых скалярных функций, к решению уравнений для трех функций. Например, это могут быть При этом потенциал можно выразить через интеграл по времени от

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление