Главная > Разное > Метод конечных элементов для радиоинженеров и инженеров-электриков
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

5.8. Анизотропные материалы

Во многих случаях широко используются анизотропные материалы, например текстурированные стали в сердечниках трансформаторов. В таких материалах удельное магнитное сопротивление имеет одно значение в некотором

предпочтительном направлении и другое значение в ортогональном направлении Все сказанное выше относительно общего случая (уравнения (5.5) - (5.10)) остается в силе, и стационарный функционал по-прежнему определяется формулой (5.7) при условии, что удельное магнитное сопротивление считается тензорной величиной. Практические трудности состоят в том, что удельное магнитное сопротивление и, следовательно, плотность энергии зависят не только от величины вектора магнитной индукции, но и от его направления. Графики зависимостей удельного магнитного сопротивления от величины индукции обычно приводятся только для главных направлений и лишь изредка для промежуточных направлений. Можно допустить (и это допущение, как правило, будет приводить к отличию от истинных значений на величину, не превышающую яескольких процентов), что линии постоянного удельного магнитного сопротивления представляют собой эллипсы в плоскости Алгебраически это эквивалентно предположению, что

где отношение полуосей. Пусть требуется построить треугольные элементы. Аргумент в формуле (5.43) можно выразить через координаты, связанные с площадями треугольников:

или в симплексных переменных

Точно так же как и в случае линейных элементов, производные от симплексных координат по предпочтительным координатам могут быть выражены через значения предпочтительных координат в вершинах треугольников. Это дает

Для формирования матриц элементов необходимо далее использовать выражения (5.12) и (5.13). В соответствии с правилом дифференцирования сложных функций имеем

Здесь — пробная функция, а экстремум достигается при Применив аппроксимирующие интерполяционные функции типа (5.11), после их подстановки в (5.47) получим

Индексы принимают значения от 1 до 3.

Матрица для метода конечных элементов может быть получена интегрированием уравнения (5.47). Аналитическое интегрирование возможно только в относительно простых случаях, поскольку в общем случае является некоторой относительно сложной функцией положения. Для реализации метода Ньютона можно опять применить цепное правило дифференцирования сложной функции, чтобы вместо потенциалов дифференцировать квадрат величины магнитной индукции. В результате имеем

Здесь производные определены точно так же, как и в формуле (5.47). Необходимо еще раз подчеркнуть, что аналитические дифференцирование и интегрирование сопряжены с большими трудностями, за исключением случая треугольников первого порядка.

Данные методы широко использовались для исследования распределения магнитного потока и магнитной индукции в многофазных многостержневых сердечниках трансформаторов, выполненных из текстурированной стали. В таких случаях предпочтительное направление соответствует направлению прокатки стального листа. Отношение полуосей может при этом достигать 10, поэтому расчет, выполненный в предположении изотропности материала, не дает хороших результатов.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление