Главная > Разное > Метод конечных элементов для радиоинженеров и инженеров-электриков
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

5.7. Анализ электрической машины постоянного тока

Рассмотрим пример, поясняющий методы и масштабы практических расчетов, используемых в настоящее время. На рис. 5.5 приведена модель из конечных элементов четырехполюсной электрической машины постоянного тока. Как видно, эта модель не очень сложна. Лишь несколько участков машины моделируется большим числом конечных элементов, чем требуется для правильного представления геометрической формы. Модель воспроизводит только четверть сечения четырехполюсной машины. Остальная часть сечения имеет аналогичные условия возбуждения и форму, поэтому и распределение магнитного поля в ней будет точно таким же. Используемая здесь модель состоит из 258 элементов и включает 143 узловые точки. Можно показать теоретически, что при использовании треугольных элементов первого порядка их число не может превышать более чем вдвое числа узлов. На практике величина указанного соотношения обычно находится в окрестности значения 1,8.

На рис. 5.6 показано решение, полученное для этой модели при номинальном значении тока возбуждения, но в отсутствие других токов в обмотках. При расчете использовались довольно простые граничные условия. Было принято, что внешней поверхности корпуса машины соответствует магнитная силовая линия, и на этой поверхности Поскольку эта же силовая линия проходит через центр машины, то можно считать, что и на оси машины Если машина не нагружена, ток ротора и ток между полюсами равны нулю и возбуждение обеспечивается только за счет тока обмоток статора. В этом случае осевая линия полюсного наконечника и осевая линия промежутка между наконечниками являются линиями симметрии. Магнитная силовая линия должна проходить по средней линии полюсного наконечника, а осевая линия промежутка между наконечниками должна быть ортогональна ко всем магнитным силовым линиям. Если, однако, ротор выполнен зубчатым, как показано на рис. 5.5, то четкой прямой линии симметрии уже не будет. Магнитные силовые линии будут пересекать ось симметрии полюсных наконечников некоторым нерегулярным образом. Тем не менее ясно, что потенциал должен иметь одни и те же значения (не считая перемены знака) в соответствующих точках на оси симметрии полюсных наконечников и на оси симметрии межполюсных промежутков. Другими словами, если на осях

(кликните для просмотра скана)

симметрии смежных полюсных наконечников (например, на горизонтальной и вертикальной оси рис. 5.5) взять некоторые геометрически соответствующие узловые точки то из двух значений потенциала только одно может определяться независимо, поскольку

Это ограничение по существу сходно с ограничениями, на которые наталкиваются при объединении элементов, и оно фактически связано с ограничением при объединении элементов. Новым является здесь только то, что объединяемые элементы геометрически не примыкают друг к другу, а в матрице появляется отрицательный знак. В этом случае задача становится несимметричной и рассматривать только половину области между полюсными наконечниками уже нельзя. Для получения решения необходимо решать задачу для всей области между наконечниками. Для представленной на рис. 5.5 модели существует 24 уравнения ограничений, вытекающих из граничных условий, т. е. матрица ограничений С имеет 774 строки и 119 столбцов. Таким образом, магнитное поле на каждом шаге итерационного процесса вычисляется решением системы из 119 уравнений.

Магнитный поток сцепленный с любым данным контуром (например, с проводником в некоторой обмотке), можно вычислить по формуле

Поскольку краевые эффекты здесь не учитываются, то вклад в вычисляемый интеграл вносят только продольно ориентированные участки контура, и потокосцепление на единицу длины можно вычислить, суммируя все векторные потенциалы по боковым сторонам обмотки. При этом следует помнить, что значения потенциала надо умножить на там, где направление намотки провода совпадает с направлением оси и на там, где направление намотки и ось направлены противоположно. Таким образом,

где коэффициенты принимают значения ±1 в соответствии с направлением намотки провода, число витков обмотки. Индекс принимает значения, соответствующие всем конечным элементам, относящимся к обмотке, для которой определяется потокосцепление. Величина является усредненным векторным потенциалом в элементе. Если принять, что обмотка выполнена из провода диаметром, много

меньшим размера элемента, то витки обмотки займут все возможное место внутри элемента, в связи с чем следует использовать усреднение. При необходимости данным методом можно без повторных вычислений распределения поля определить, и форму напряжения, генерируемого в обмотке. Для этого) достаточно пересчитать значения потокосцепления (5.40) для! ряда последовательных положений ротора, либо, что то же самое, пересчитать значения суммы (5.40) с измененными: значениями всех коэффициентов, соответствующими повороту ротора на величину одного паза.

Несложная модель из конечных элементов, подобная: представленной на рис. 5.5, обычно достаточна для вычисления тех характеристик машины, которые определяются суммарными усредненными значениями или взвешенными усредненными локальными значениями потенциала. К ним относятся потокосцепление, генерируемое напряжение, полная: энергия и все выходные параметры машины. Обычно модели, этого уровня сложности могут обеспечить расчет выходных, напряжений с погрешностью не хуже нескольких процентов.. Такая точность не должна удивлять, поскольку простой классический метод магнитных цепей дает значения генерируемых напряжений, расходящиеся с экспериментом на а ведь он может рассматриваться как очень грубый вариант метода конечных элементов! Для определения выходных параметров машины моделирование с помощью треугольных элементов первого порядка вполне приемлемо, если только используемые элементы точно воспроизводят форму машины. При этом слишком густая сетка в пределах всей машины обычно не нужна. Естественно, если представляют интерес детали распределения потока в каком-либо месте, необходимо применять в том месте более мелкие сетки. Например, если важно знать распределение индукции на конце полюсного наконечника, необходимо использовать значительно более мелкое разбиение, как для исследуемого, так, вероятно, и для соседних с ним наконечников.

При работе машины под нагрузкой распределение магнитного потока в ней уже не будет симметричным относительно оси симметрии полюсных наконечников. Это видно на рис. 5.7, где представлено рассчитанное распределение магнитного потока в нагруженной машине. В этом случае необходимо проводить расчет для всего участка, соответствующего области между полюсными наконечниками. Кроме того, и граничные условия становятся более сложными, чем в случае ненагруженной машины. По-прежнему справедливо утверждение, что по ободу машины проходит линия магнитного потока и эта же линия магнитного потока должна проходить через ось машины. Однако если в ненагруженном

Рис. 5.7. Распределение магнитного потока в четырехполюсной электрической машине, показанной на рис. 5.5, при работе под нагрузкой. Распределение линий потока подчиняется требуемой периодичности на осях полюсных наконечников и на осях промежутков между нимн, однако эти оси в данном случае не являются линиями симметрии.

случае из соображений симметрии требовалось, чтобы эта линия шла вдоль оси симметрии полюсных наконечников в радиальном направлении, то в нагруженной машине, как видно из рис. 5.7, особое положение этой линии не может быть каким-либо образом определено. При этом можно лишь утверждать, что все величины для машины должны быть периодическими. Следовательно, все векторные потенциалы вдоль радиальной линии машины должны иметь точно такие же по модулю и противоположные по знаку значения вдоль другой радиальной линии, сдвинутой на половину шага между полюсными наконечниками машины. Например, векторные потенциалы вдоль вертикальной оси симметрии полюсных наконечников на рис. 5.7 должны иметь значения, равные по модулю и противоположные по знаку величинам векторных потенциалов на горизонтальной оси. Это ограничение поддается точно такой же трактовке, как и все обычные граничные условия. Для простоты рассмотрим сетку, показанную на рис. 5.8, а, где потребуем, чтобы потенциалы в узлах 5 и 6

были равны по модулю и противоположны по знаку потенциалам в узлах 1 и 2. Соответствующий разъединенный набор элементов показан на рис. 5.8,б. Очевидно, что в объединенной задаче будет только четыре независимых значения потенциала.

Рис. 5.8. а) Простая треугольная сетка, отвечающая требованию периодичности. б) Та же сетка в разъединенном виде.

Таким образом, вектор двенадцати несвязанных потенциалов должен соотноситься со связанными потенциалами матричным преобразованием

где матрица С есть результат перестановки в матрице

Следовательно, требование периодичности означает процесс объединения матриц, который в принципе аналогичен любому другому, но включает вычитание некоторых элементов, так как матрица С в этом случае содержит как положительные, так и отрицательные элементы.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление