Главная > Разное > Метод конечных элементов для радиоинженеров и инженеров-электриков
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

5.6. Треугольные элементы Ньютона первого порядка

Треугольные элементы первого порядка широко используются для расчета электрических машин в приближении бесконечной их длины вдоль оси вращения. Применять такие элементы удобно благодаря их геометрической гибкости, позволяющей легко моделировать сложную форму поперечного сечения электрических машин, и относительной простоте в вычислениях.

Для построения треугольных элементов первого порядка перепишем выражение (5.24) для матрицы Якоби в развернутом виде

На треугольном элементе первого порядка магнитная индукция и, следовательно, удельное магнитное сопротивление постоянны везде. Поэтому первый интеграл в правой части выражения (5.31) есть не что иное, как матрица Далее, поскольку интерполяционные функции для элементов первого порядка линейны, их градиенты должны быть постоянными величинами. Отсюда

где А — площадь элемента. Чтобы упростить запись, обозначим через матрицу получаемую при удельном магнитном сопротивлении, равном единице, так что

а также введем вспомогательный вектор Е:

Тогда выражение (5.32) принимает вид

Заметим, что второе слагаемое в правой части является просто произведением компонент вспомогательного вектора следовательно, затраты на его вычисление невелики. Легко добавить и остальные члены в уравнениях, которые описывают итерационный процесс Ньютона с треугольными элементами первого порядка (учитывая, что они были достаточно подробно рассмотрены выше при изложении метода простой итерации). Вектор (5.25) можно записать в виде

где вектор, определяемый формулой (5.18). Используя в формуле (5.16) выражения (5.33) и (5.34), получаем

Соответствующая схема итерационной процедуры показана на рис. 5.4.

Подсчет количества операций показывает, что для каждого формирования матрицы Якоби (5.35) и вектора (5.36) для одного элемента необходимо выполнить всего 28 операций, включающих операции умножения и другие операции, связанные с вычислением удельного магнитного сопротивления и его производной. Это требует небольших затрат машинного времени. Более того, с увеличением числа элементов общее время расчета увеличивается лишь пропорционально числу элементов. С другой стороны, машинное время, необходимое для решения матричных уравнений, даже при наиболее эффективных алгоритмах возрастает быстрее, чем по линейному закону при увеличении количества узлов. В результате время на формирование матрицы эквивалентно времени расчета относительно небольшого числа элементов (не

более 50), тогда как в реальных практических задачах, где используются многие сотни элементов, на формирование матрицы уходит только общего времени счета. Поэтому общее время счета сильно зависит от метода решения уравнения (5.23) для определения поправки Ньютона. По приведенным выше приближенным оценкам можно заключить, что время расчета удельных магнитных сопротивлений по заданным значениям потенциалов имеет важное значение. Очевидно, что данные, характеризующие свойства материалов, должны быть упорядочены таким образом, чтобы быстро получать значения удельного магнитного сопротивления по заданному значению индукции. Классические графики зависимостей В от для этой цели не очень удобны, в связи с чем обычно используются графики, непосредственно связывающие удельное магнитное сопротивление с квадратом индукции магнитного поля. Для экономии времени лучше не моделировать графики удельного магнитного сопротивления трансцендентными функциями, так как это обычно существенно увеличивает время расчета. Например, применение экспоненциальной функции влечет за собой возрастание машинного времени на величину, эквивалентную многим десяткам операций умножения и сложения. Выгоднее использовать кубические сплайны с равномерно расположенными узлами, либо кубические интерполяционные полиномы Эрмита. Для вычисления указанных функций необходимо выполнить всего по три операции умножения, и, кроме того, обе эти функции монотонны и непрерывны. Преимущество монотонной функции состоит в том, что она обеспечивает равномерную сходимость ньютоновского процесса и позволяет избежать сбоев, которые могут

Рис. 5.4. Алгоритм метода Ньютона, обеспечивающий сходимость при расчетах магнитных полей для случая монотонных характеристик намагничивания.

возникать при резком изменении значения первой производной удельного магнитного сопротивления и, следовательно, значения матрицы

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление