Главная > Разное > Метод конечных элементов для радиоинженеров и инженеров-электриков
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

5.5. Итерационный процесс Ньютона

Описанный ранее метод простой итерации обладает довольно медленной сходимостью и требует больших затрат машинного времени. К тому же не известно ни одного метода для оценки требуемой степени корректировки удельного магнитного сопротивления, который гарантировал бы устойчивость без чрезмерного замедления вычислительного процесса. Поэтому предпочтительнее рассмотреть итерационный процесс Ньютона, который является безусловно устойчивым. Сходимость метода Ньютона значительно более быстрая, чем метода простой итерации. Интересно, что метод Ньютона почти не требует дополнительного объема машинной памяти. Теоретически скорость сходимости метода Ньютона в окрестности решения квадратична, т. е. число значащих цифр в каждом последующем приближении примерно вдвое должно превышать число значащих цифр в предыдущем приближении. Таким образом, если в первой итерации приближенное решение верно с точностью до одной значащей двоичной цифры, то вторая итерация обеспечит две верные двоичные цифры, третья — четыре, следующая — восемь и т. д. Итак, пять-шесть последовательных квадратично сходящихся итераций должны обеспечить максимальную точность, достижимую на обычной 32-разрядной ЭВМ. Истинно квадратичная сходимость в действительности обеспечивается только вблизи самого решения. Тем не менее семи-восьми итераций по методу Ньютона обычно достаточно для получения точности, превосходящей реальные потребности.

Итерационный процесс Ньютона можно пояснить следующим образом. Представим вновь функционал (5.7) в дискретном виде, используя подстановку выражения (5.11). Допустим, что А — искомое истинное решение, а

представляет неточное, но достаточно близкое приближение к А. Разложим каждую составляющую градиента величины в ряд Тейлора вблизи и

Но в соответствии с уравнением (5.12 при все производные от должны обращаться в нуль. Отбросив все члены

ряда Тейлора со степенью выше второй, из разложения (5.22) получим выражение для отклонения пробной функции от А

где матрица Якоби итерационного процесса Ньютона (матрица Гессе от

а вектор V равен

Построение итерационного процесса начинается с выбора некоторого начального набора значений функции и и вычисления разности между и А в соответствии с уравнением (5.23). Эту разность, которую обычно называют отклонением, прибавляют затем к первоначально выбранным значениям потенциалов. Отклонение, вычисленное с помощью уравнения (5.23), является приближенным, так как производные третьего и более высоких порядков в ряде Тейлора были отброшены. Отклонение будет рассчитано точно в том случае, когда зависимость квадратична, так что производные третьего и более высоких порядков обращаются в нуль. В действительности такой характер зависимости соответствует линейным задачам, когда итерационный процесс сходится за один шаг. В нелинейных задачах вычисленное отклонение просто прибавляется к и для формирования уточненного значения и затем вся процедура повторяется. Таким образом, итерационная формула

приводит к последовательности итераций Ньютона, обеспечивая сходимость к А.

Для успешного осуществления процесса Ньютона необходимо вычислять производные (5.24) и (5.25). Формальное дифференцирование функции дает

Дифференцируя соотношение (5.16), приведем подынтегральное выражение к виду

В соответствии с выражениями (5.9) и (5.11)

Таким образом, производные в формуле (5.28) могут быть выражены в явном виде

Интересно отметить, что первое слагаемое в правой части х этого выражения в точности соответствует тому, которое должно бы иметь место для линейной задачи. Второе, более сложное слагаемое появляется только в нелинейном случае. Поэтому для формирования матрицы коэффициентов в нелинейной задаче потребуется несколько больший объем вычислений, чем требовался бы для вычисления в аналогичной линейной задаче. Структура матрицы, однако, совершенно одинакова в обоих случаях. Таким образом, при решении нелинейной задачи объем вычислений несколько больше, но требования к объему памяти сохраняются неизменными.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление