Главная > Разное > Метод конечных элементов для радиоинженеров и инженеров-электриков
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

5.3. Решение методом простой итерации

Для решения уравнения (5.17) можно применить любой из обычных методов, пригодных для решения нелинейных уравнений. В общих чертах суть простого метода итераций заключается в следующем. Допустим, что задан ряд значений удельного магнитного сопротивления, и пусть решена соответствующая линейная задача. Рассчитанный таким образом векторный потенциал не будет, конечно, решением нелинейной задачи. Но значение и можно использовать для расчета нового ряда значений удельного магнитного сопротивления, которые в свою очередь могут служить основой для вычисления и в следующем приближении. Вычислительный процесс можно начать, задав везде начальные значения удельного магнитного сопротивления (при нулевом значении поля), и закончить его, когда разница между решениями, полученными в двух последовательных приближениях, станет меньше некоторой заданной величины. Блок-схема соответствующей программы расчета приведена на рис. 5.1, а. Этот простой алгоритм не всегда устойчиво сходится, но его можно значительно улучшить, если подкорректировать значения удельного магнитного сопротивления. Иначе говоря, используемые в итерации значения удельного магнитного сопротивления должны браться не из итерации, а определяться по взвешенной комбинации из значений потенциала, полученных в итерациях:

где верхние индексы обозначают номер итерации, фиксированный параметр Без данной корректировки итерационный процесс обычно осциллирует в широком диапазоне значений удельного магнитного сопротивления. Такое изменение в программе не требует дополнительного объема памяти, поскольку вместо значений и в приближении можно записывать значения в приближении. Таким образом, требуемый объем памяти по-прежнему должен соответствовать двум полным векторам.

На каждом шаге итерационного алгоритма необходимо решать систему линейных уравнений типа (5.17). Использование для этой цели классического метода исключения переменных может оказаться расточительным по двум причинам.

Рис. 5.1. (см. скан) а) Алгоритм простой итерации, б) Блок-схема более надежного и, вероятно, более быстрого варианта того же метода.

Во-первых, на каждом шаге итерационного цикла известно достаточно хорошее приближенное решение, точность которого может достигать нескольких значащих цифр. Однако никакой пользы из этой априорной информации не извлекается. Во-вторых, все последовательные приближенные решения вычисляются с одинаковой заданной точностью, несмотря на то что последние значащие цифры в большинстве случаев вовсе не важны. Поэтому вместо точного решения целесообразнее применить итерационный метод, например метод Гаусса — Зайделя для системы линейных уравнений. В таких методах могут использоваться результаты известного приближенного решения и, кроме того, можно ускорить вычисления за счет уменьшения их точности. Это достигается ограничением числа итераций в процедуре Гаусса — Зайделя, которая выполняется на каждом шаге процесса минимизации функционала. Усовершенствованный вариант итерационного алгоритма представлен на рис. 5.1,6. Изменяя число шагов в линейной итерации между последовательными

вычислениями удельного магнитного сопротивления и используя разные итерационные методы решения системы линейных уравнений, можно построить многочисленные варианты этого алгоритма. Как правило, применение методов данного класса позволяет экономно использовать машинную память, поскольку никогда не требуется формировать всю матрицу Необходимо лишь вычислить произведение для данного и, а это можно выполнить поэлементным накапливанием произведений. Поскольку матрица каждого элемента должна рассчитываться на каждом шаге, то операции по восстановлению по-прежнему необходимо выполнять на каждом шаге основного алгоритма. Для сложных элементов эта операция весьма трудоемкая. Однако в двумерных плоских задачах при использовании треугольных элементов первого порядка объем вычислений сравнительно невелик.

Рассмотрим треугольный элемент, лежащий в плоскости и допустим, что все токи и векторные потенциалы направлены только по оси Используем треугольные элементы первого порядка. Поскольку потенциал А внутри каждого элемента меняется линейно, значение В внутри каждого элемента должно быть постоянной величиной. Следовательно, удельное магнитное сопротивление также должно быть постоянным внутри каждого из элементов. Поэтому выражение (5.19) совпадает с соответствующим выражением для линейной задачи и его очень легко вычислить. Единственная дополнительная операция, которую при этом необходимо выполнять, состоит в определении удельного магнитного сопротивления для каждого треугольника.

Трехмерные асимметричные задачи для магнетиков с насыщением решаются практически таким же образом, как и соответствующие задачи в случае линейных материалов. Однако необходимо еще раз подчеркнуть, что в цилиндрической системе координат векторный и скалярный операторы Лапласа фактически являются различными операторами. Вследствие этого функционалы в задачах для векторного и скалярного потенциалов не одинаковы. Различия между ними носят такой же характер, как и в линейных задачах, и поэтому здесь рассматриваться подробно не будут.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление