Главная > Разное > Метод конечных элементов для радиоинженеров и инженеров-электриков
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

5.2. Определение экстремума

Дискретизация функционала (5.7) для нелинейных задач проводится теми же методами, которые использовались для линейных задач.

Область определения решения разбиваем обычным образом на множество неперекрывающихся конечных элементов. Сосредоточим пока внимание на одном элементе. Пробную функцию и внутри этого элемента представим интерполяционным приближением

При подстановке этого выражения в формулу (5.7) функционал становится обыкновенной функцией некоторого числа переменных, соответствующих конечным элементам. Как и ранее, процесс минимизации сводится к простому

дифференцированию

где индекс пробегает по всем нефиксированным переменным. Дифференцируя выражение (5.7), получаем

Из формул (5.8) и (5.10) следует, что

где переменная интегрирования, соответствующая магнитной индукции. Подобный результат получается и в задаче для скалярного потенциала (5.3). В дальнейшем удобно будет рассматривать удельное магнитное сопротивление как функцию квадрата магнитной индукции. Поэтому целесообразно переписать выражение (5.14) в виде

Пользуясь правилом дифференцирования сложной функции, из этого выражения получаем

Возвращаясь теперь к уравнению (5.13), выражающему требование стационарности, подставим в него выражение (5.16) для производной от энергии. Поскольку формула (5.9) связывает величину индукции В с векторным потенциалом, уравнение (5.13) легко привести к матричной форме

Здесь и является вектором значений узловых потенциалов, вектор, составляющие которого определяются выражением

матрица коэффициентов, причем

Разумеется, удельное магнитное сопротивление в этом выражении зависит не только от значений координат, но и от

личины поля. Поэтому составление матрицы коэффициентов элемента в нелинейном случае значительно сложнее, чем в случае линейной задачи. Это связано, в частности, с тем, что свойства материала могут существенно изменяться в пределах одного элемента.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление