Главная > Разное > Метод конечных элементов для радиоинженеров и инженеров-электриков
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Глава 5. Дифференциальные операторы для ферромагнетиков

5.1. Функционалы для магнитных полей

К числу задач электромагнетизма, где широко применяется метод конечных элементов, относятся задачи расчета нелинейных магнитных цепей (применительно к электрическим машинам, трансформаторам и другим силовым устройствам). Нелинейности в таких задачах обычно однопараметрические и имеют монотонный характер или по крайней мере могут считаться таковыми. Поэтому для расчетов можно эффективно использовать сравнительно простые методы.

Как было показано в гл. 2, задачи о стационарных магнитных полях обычно описываются либо на языке скалярного потенциала определенного таким образом, что напряженность магнитного поля является его градиентом

либо на языке векторного потенциала А, ротор которого дает величину магнитной индукции В:

Скалярный потенциал легко вычислить лишь в областях, где ротор вектора равен нулю, т. е. в областях, где нет токов. В этом случае подчиняется нелинейному дифференциальному уравнению

нелинейность которого обусловлена зависимостью магнитной проницаемости материала от магнитного поля. Соответственно векторный потенциал определяется из уравнения

которое можно рассматривать как более общее, поскольку в области определения решения могут находиться источники тока с плотностью При этом может представлять как плотность токов, задаваемых условием задачи, так и плотность токов, наведенных в данной среде. Удельное магнитное сопротивление материала здесь зависит от величины поля, следовательно, уравнение (5.4) нелинейно.

Уравнения (5.3) и (5.4) справедливы для общего трехмерного случая. Однако, несмотря на то что трехмерные

задачи и представляют значительный практический интерес, в подавляющем большинстве случаев их стараются свести к двумерным моделям. Это связано не только с более высокой стоимостью вычислительных работ в случае трехмерных задач, но и с тем, что представление исходных геометрических данных и результатов расчета вызывает серьезные трудности. Поэтому, например, электрические машины зачастую анализируют в предположении их бесконечной длины вдоль оси. В таких случаях используется уравнение (5.3) и подразумевается, что операторы дивергенции и градиента являются двумерными.

Если в уравнении (5.4) принять, что векторные величины направлены только вдоль оси то оно сводится к двумерному

Это уравнение по форме идентично двумерному неоднородному варианту уравнения (2.92). Уравнение (5.5) имеет такой вид, как и уравнение Пуассона для линейной задачи. Отличие состоит лишь в том, что характеристики материала зависят от напряженности поля.

Важно отметить, что магнитная проницаемость большинства обычных материалов может считаться скалярной и монотонно изменяющейся величиной. При увеличении напряженности поля магнитная проницаемость уменьшается, а удельное магнитное сопротивление возрастает. Этот факт имеет большое практическое значение, ибо он гарантирует разрешимость задач и единственность решений при использовании методов, рассматриваемых в данной главе.

Для того чтобы попытаться решить уравнения (5.3) или (5.4) методом конечных элементоз, необходимо сначала найти подходящий функционал. Может показаться, что ввиду сходства уравнения (5.5) с соответствующими линейными дифференциальными уравнениями подходящим функционалом для (5.4) должно бы быть выражение

точно такое же, как и для линейного случая, но это предположение ошибочно! Тем не менее нетрудно заметить, что подынтегральное выражение в первом слагаемом правой части уравнения (5.6) представляет собой плотность энергии для линейной задачи. Поэтому формулу (5.6) можно записать в виде

где через обозначена плотность энергии, соответствующая пробной функции и. К счастью, понятие плотности энергии распространяется не только на линейные материалы. Следовательно, выражение (5.7) можно считать справедливым также для нелинейных сред при условии, что плотность энергии для магнитных материалов определяется адекватным выражением

В этом выражении следует использовать следующие связи функций:

Функционал (5.7) соответствует формуле (2.102).

Можно доказать, что поскольку первое слагаемое правой части выражения (5.7) фактически представляет энергию, то условия для существования и единственности математического решения точно те же, что необходимы для существования единственного устойчивого состояния реальной магнитной системы: функции, соответствующие кривым намагничивания всех используемых материалов, должны быть монотонно возрастающими, а их первые производные должны монотонно уменьшаться. Поэтому для задач, поставленных в этой главе, достаточно будет рассмотреть стационарные свойства функционала представленного в виде (5.7). При этом рассмотрение будет проведено в рамках обсуждавшегося выше двумерного приближения, когда вектор и, направленный вдоль оси представлен величиной и.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление