Главная > Разное > Метод конечных элементов для радиоинженеров и инженеров-электриков
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

1.3. Элементы первого порядка

Приступим к построению приближенного решения простым методом конечных элементов. Для этого область, в которой необходимо найти решение задачи, разбиваем на треугольные элементы, как показано на рис. 1.1,6. Сущность метода заключается в унифицированной аппроксимации потенциала внутри каждого элемента и подборе таких распределений потенциала в различных элементах, при которых сохранялась бы его непрерывность во всей области определения.

Вначале построим приближенное решение для потенциала и связанной с ним энергии. Будем полагать, что внутри типичного треугольного элемента (рис. 1.2) потенциал адекватно аппроксимируется выражением

Рис. 1.2. Типичный треугольный конечный элемент в плоскости .

Таким образом, истинное решение заменяется кусочно-планарной функцией; гладкая поверхность фактического распределения потенциала в плоскости заменяется многогранной поверхностью аппроксимации. Необходимо, однако, отметить, что распределение потенциала вдоль любой стороны треугольника определяется линейной интерполяцией между двумя значениями потенциала в его вершинах. Поэтому, если два треугольника имеют одни и те же вершины, то потенциал на границе между ними будет непрерывным. Таким образом, поверхность , аппроксимирующая истинное решение в плоскости не имеет разрывов; приближенное решение является кусочно-планарным, но везде непрерывным.

Коэффициенты в уравнении (1.6) могут быть найдены из системы трех независимых уравнений, которые получаются из Условий, что потенциалы в вершинах треугольника равны . Подставляя поочередно значения этих потенциалов и координат соответствующих им вершин треугольника в уравнение (1.6), получим

Нетрудно видеть, что детерминант матрицы коэффициентов в уравнении (1.7) равен удвоенной площади треугольника. За

исключением случая вырождения, когда площадь треугольника равна нулю, коэффициенты с легко определяются из системы уравнений (1.7).

Подстановка результатов решения системы уравнений (1.7) в уравнение (1.6) дает

Комбинируя х, у и элементы обратной матрицы коэффициентов в новые функции положения, приведем уравнение (1.8) к следующему виду:

Здесь

есть линейная функция, зависящая только от положения вершин треугольника, площадь которого равна А. Функции и получаются из (1-10) циклической перестановкой индексов. С помощью выражения (1.10) легко убедиться, что функции являются интерполяционными на трех вершинах треугольника, т. е. что каждая функция обращается в нуль на всех вершинах треугольника, за исключением одной, где она равна единице,

Энергию, связанную с единичным треугольным элементом, можно определить с помощью выражения (1.2), имея в виду, что областью интегрирования является область дадного элемента. Градиент потенциала в пределах элемента может быть найден из уравнения (1.9) и представлен в виде

поэтому энергия элемента

с учетом выражения (1.12) приобретает вид

Для лаконичности записи введем определение матричных элементов

где верхним индексом обозначен треугольный элемент. Таким образом, выражение (1.14) может быть записано в виде квадратичной формы

Здесь и — вектор, стоящий в левой части уравнения (1.7), индекс означает транспонирование.

Матрицу нетрудно вычислить для любого заданного треугольника. Подстановка соотношения (1.10) и его циклической перестановки в выражение (1.15) и выполнение несложных алгебраических преобразований приводят к следующему выражению для

Аналогичные выражения можно найти и для других элементов матрицы

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление