Главная > Разное > Метод конечных элементов для радиоинженеров и инженеров-электриков
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

4.5. Интегральные уравнения в магнитостатике

Преимущества, которые дает формулировка задач теории поля с помощью интегральных уравнений, особенно важны для магнитостатики. Большой интерес представляет точный расчет магнитных полей, связанных со сложными магнито-проводами электрических машин. В настоящее время создан ряд программ, использующих уменьшение размерности и упрощение граничных условий, полученные благодаря реализации интегральных методов вместо методов, связанных с дифференциальными операторами.

4.5.1. Интегральное уравнение для намагниченности

Развиваемый здесь подход основан на использовании вектора намагниченности

Вектор является мерой присущей материалу способности к намагничиванию, причем для разных материалов вектор может быть отличным от нуля в случае отсутствия внешних полей либо наводиться источниками тока. Отметим, что случай соответствует немагнитной среде. Действительно, в соответствии с (4.33) при этих условиях обращается в нуль. Уравнение (4.33) можно записать в виде

из которого следует, что магнитная восприимчивость равна

Во многих случаях величина будет зависеть от Напряженность магнитного поля в уравнении (4.33) можно разделить на две части

где часть обусловлена действием источников тока, а связана с намагниченностью, наведенной в материале. Так как по предположению не зависит от свойств материала, то этот вектор должен определяться распределенными в свободном пространстве токами

Данное выражение по существу представляет собой формулировку хорошо известного закона Био - Савара (см. разд. 2.2). Векторы являются соответственно радиус-векторами точек наблюдения и источника как показано на рис. 4.1. Интегрирование выполняется по пространственной области в которой содержатся все источники тока, и относительно переменной . Выражение (4.37) является решением уравнения

За подробным доказательством этого утверждения читатель может обратиться к учебникам по электромагнетизму, например к книге Стрэттона (см. [1]). Поскольку уравнение Максвелла для случая постоянных полей имеет вид

ясно, что поле намагничения является безвихревым, Это означает, что вектор можно представить в виде градиента скалярной функции — потенциала

Величина составляет лишь часть скалярного потенциала, поскольку не представляет полного магнитного поля. Для областей, где нет тока, аналогично скалярному магнитному потенциалу, введенному в разд. 2.2.2. Из уравнения (4.33) следует, что

Поскольку вектор представляет магнитное поле в свободном пространстве, выполняется равенство Поэтому операция дивергенции, примененная к обеим частям уравнения (4.41), дает

С помощью соотношений (4.40) и (4.42) получаем определяющее дифференциальное уравнение в частных производных для скалярного потенциала, которое является уравнением Пуассона:

Это уравнение аналогично уравнению Пуассона для электростатического потенциала в случае однородного диэлектрика

Как было показано выше, решение этого уравнения в объеме ограниченном поверхностью имеет вид

Заметим, что объемный и поверхностный заряды можно представить через электрическую индукцию с помощью соотношений Выражение (4.45) приобретает в этом случае вид

Имея в виду аналогичность уравнений (4.43) и (4.44), когда величина соответствует а соответствует нетрудно понять, что решение уравнения (4.43) для скалярного магнитного потенциала определяется выражением

Здесь мы полагаем, что весь магнитный материал находится внутри объема Ом, ограниченного поверхностью а оператор действует только на функции от Для преобразования второго слагаемого в правой части выражения (4.47) можно воспользоваться теоремой Остроградского — Гаусса (см., например, книгу Райли [2], с. 100), так что

Преобразуя это выражение в соответствии с правилом векторного исчисления находим

или в более явной форме

Имея в виду связь между и в (4.40), с помощью выражения (4.50) получаем

где оператор градиента V относится, конечно, к координатам без штрихов. Следовательно, с помощью выражений (4.36), (4.37) и (4.51) можно представить уравнение (4.34) в виде

Это и есть интегральное уравнение, которое определяет неизвестный вектор через заданные значения

4.5.2. Применение интегрального уравнения намагниченности

Рассмотрим теперь задачу об определении магнитного поля проводников с током, расположенных параллельно длинному стержню из ферромагнитного материала. Это двумерная задача, для которой в направлении продольной оси (например, ) физические условия не изменяются. В соотношении (4.50) можно взять интеграл по и получить следующее выражение для скалярного магнитного потенциала:

где теперь соответствуют двумерным радиус-векторам. Подставляя выражение (4.53) в уравнение (4.40), получим

Для пояснения на рис. 4.8 приведена конкретная геометрия задачи, включающая два проводника с током, параллельные прямоугольному стержню.

Рис. 4.8. Геометрия токонесущих проводников, параллельных стальному стержню.

Поле источника в точке можно записать в виде

В общем случае (когда зеркальной симметрии может не быть) предположим, что поперечное сечение стержня разделено на элементов. Обозначим произвольную точку внутри элемента через Примем в качестве упрощения, что намагниченность внутри каждого элемента постоянна. Далее будем считать (и это предположение будет тем ближе к истине, чем больше число элементов), что намагниченность в точке является суммой составляющих от каждого элемента (включая также элемент, в котором по предположению находится точка Используя уравнение (4.54), эту сумму можно представить в виде

Так как вектор намагниченности считается постоянным в пределах каждого элемента, то интегрирование в выражении (4.57), хотя оно довольно непростое, может быть выполнено (см. работу Ньюмана, Троубриджа и Тернера [3]). Результат интегрирования полностью определяется геометрией элементов. Элементы не обязательно должны быть прямоугольными, как это было принято здесь. Интегрирование в пределах каждого отдельного элемента следует выполнять относительно некоторой базисной точки Если базисные точки для интегрирования выбраны так, что они совпадают с точками то очевидно, что при таком совмещении можно записать следующее уравнение:

Символом обозначен тензор второго ранга

который в уравнении (4.58) производит операцию над вектором образуя вектор

Точка совмещения может быть выбрана где угодно в пределах данного элемента. Однако интуиция подсказывает, что для наиболее эффективной аппроксимации при данном размере элемента точку совмещения следует располагать в центре элемента.

Итак, задача о нахождении намагниченности представлена в дискретной форме, поскольку на основании уравнений (4.43) и (4.36) можно записать

или

Здесь введен символ Кронекера при при Уравнение (4.62) имеет матричную форму, и оно может быть обращено для получения

Теперь рассмотрим следствия симметрии задачи, показанной на рис. 4.8. В силу симметрии намагниченность в точках и одинакова. Поэтому ясно, что число неизвестных компонент соответствует количеству элементов в

области Уравнение (4.57), из которого определяются коэффициенты следует преобразовать таким образом, чтобы ввести дополнительные слагаемые, получаемые при замене на При этом для получения суммирование выполняется по индексу соответствующему лишь элементам в области

Если желательно учесть нелинейные свойства материала, уравнение (4.62) можно решать последовательными приближениями, начиная с предполагаемого решения, которое при заданных -характеристиках материала позволяет оценить

Описанный здесь метод решения двумерных задач легко распространить на трехмерные случаи. Он лежит в основе программы составленной Ныоманом и др. [3]. Этот удачный метод может рассматриваться как альтернативный по отношению к описанным в гл. 5 методам, основанным на вариационном способе решения дифференциальных уравнений в частных производных. Одно из принципиальных достоинств метода интегральных уравнений заключается в данном случае в том, что разбиение пространства на конечные элементы необходимо производить лишь в пределах ферромагнитного материала.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление