Главная > Разное > Метод конечных элементов для радиоинженеров и инженеров-электриков
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

4.4. Вариационные выражения для интегральных операторов

Проведенный в предыдущих главах анализ, связанный с дифференциальными операторами, был основан исключительно на вариационном принципе. В данной главе с самого начала были использованы соответствующие интегральные операторы. Этот прямой метод дает возможность достаточно просто использовать конечные элементы нулевого порядка, как, например, в разд. 4.2.2, где плотность заряда принималась постоянной на отдельных элементах границ. Применение аппроксимаций более высоких порядков, как было показано в разд. 4.2.1, оказывается более сложным. В этом разделе приведено удобное представление в вариационной форме интегральных уравнений, используемых в задачах электростатики. Рассматривая задачу об однородной коаксиальной линии, поставленную в разд. 4.2 настоящей главы, нетрудно показать, что функционал

экстремален при совпадении с истинным распределением заряда а. В этом можно убедиться, исследуя выражение (4.30) для случая, когда , где — произвольная функция радиус-вектора на контуре Полагая получим

Рис. 4.7. Микрополосковая линия передачи, а) Ленточный проводник и диэлектрическая пластина на проводящей подложке, б) Эквивалентная по электрическим характеристикам линия передачи с двумя ленточными проводниками.

Поскольку функция Грина симметрична относительно радиус-векторов их можно менять местами при взятии интегралов в формуле (4.31), что позволяет упростить выражение для

Линейное по а слагаемое, являющееся первой вариацией функционала, обращается в нуль, поскольку удовлетворяет исходному интегральному уравнению (4.6). Из этого следует, что функционал определяемый выражением (4.30), действительно имеет экстремум (минимум) при

Выражение (4.30) для функционала можно использовать в вычислительных схемах, реализующих метод конечных элементов, так же, как это было сделано в предыдущих главах. Важно отметить, что используемые здесь конечные элементы являются одномерными и представляют собой отрезки дуги, в то время как при решении той же задачи с помощью дифференциальных операторов (см. разд. 2.5) необходимо использовать двумерные элементы. Следуя методике, принятой для функционалов с дифференциальными операторами, можно для функции а использовать аппроксимации разных порядков в отличие от постоянных значений, принятых в разд. 4.2. Можно значения а в узлах подобрать таким образом, чтобы они удовлетворяли требованию непрерывности, и далее выразить функционал через эти величины. Конкретные их значения, обеспечивающие минимум функционала, соответствуют наилучшему представлению пробной функции по отношению к истинному решению при выбранной системе пробных функций.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление