Главная > Разное > Метод конечных элементов для радиоинженеров и инженеров-электриков
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

4.3. Функция Грина для диэлектрической пластины

Одним из недостатков, присущих методам интегральных операторов, является то, что вид используемой функции Грина полностью определяется конкретной задачей. До сих пор Мы рассматривали только простейший случай однородной

среды. Теперь рассмотрим диэлектрическую пластину и покажем, каким образом с помощью метода изображений для такой геометрии можно найти функцию Грина.

4.3.1. Диэлектрическое полупространство

Рассмотрим простой случай, когда полупространство заполнено однородным диэлектриком с диэлектрической проницаемостью Будем считать, что задача обладает двумерной симметрией и что на расстоянии а от поверхности расположена нить с погонной плотностью заряда Этот заряд создает однородную по длине электрическую индукцию.

Рис. 4.5 Типичная силовая линия, обусловленная линейным зарядом, расположенным вблизи полубесконечной диэлектрической среды.

Рассмотрим типичную силовую линию поля («потока») показанную на рис. 4.5. Часть «потока» отражается от поверхности диэлектрика, а оставшаяся часть (I — распространяется в диэлектрике. Значение К и направление линий потоков, отраженных от границы и проникающих в диэлектрик, можно найти из условий непрерывности электростатических полей, которые обсуждались в разд. 2.1.3. Эти условия требуют, чтобы нормальная компонента вектора электрической индукции и тангенциальная компонента вектора электрического поля были непрерывны на границе раздела. Из рис. 4.5 видно, что непрерывность нормальной компоненты вектора электрической индукции приводит к равенству

Из этого уравнения следует, что т. е. углы падения и отражения «потока» электрической индукции должны быть равны. С другой стороны, непрерывность тангенциальной составляющей электрического поля приводит к условию

так что для К имеем

Приведенный анализ показывает, что геометрические соотношения, определяющие поведение линий «потока» электрической индукции вблизи поверхности раздела диэлектриков, аналогичны законам оптики и что коэффициент отражения К имеет значение, соответствующее коэффициенту отражения в оптике. Установленное равенство углов приводит к кажущемуся существованию зеркальных изображений, как это показано на рис. 4.5. Линии «потока» в правой части от границы раздела кажутся исходящими из двух разных источников: исходного источника и мнимого источника расположенного внутри диэлектрика на расстоянии а от поверхности раздела. Рассматривая теперь область можно увидеть, что любые измерения в этой области покажут наличие единственного источника с зарядом расположенного в правом полупространстве. Таким образом, для случая диэлектрического полупространства потенциал линейного источника будет иметь следующие значения:

4.3.2. Диэлектрическая пластина

Метод, примененный здесь для пояснения способа построения функции Грина для диэлектрического полупространства, можно непосредственно применить и в случае пластины конечной толщины. На рис. 4.6 показано, как получаются многократные изображения, и видны различия в отображении заряда в каждой из трех областей, связанных с пластиной. Значения и положения отображенных зарядов читатель может легко вычислить, пользуясь принципами, сформулированными для случая изображений в полупространстве (рис. 4.5). Получив картину изображений для диэлектрической пластины, легко записать функции Грина в каждой из трех областей, разделенных поверхностями пластины, используя результирующую потенциальную функцию, представленную в виде бесконечного ряда

где заряд, соответствующий изображению (или в соответствующих случаях исходный заряд), расположенному в точке

Рис. 4.6. а) Силовые лииии, обусловленные линейным зарядом, расположенным вблизи диэлектрической пластины, б) Зеркальное изображение в области, содержащей заряд, в) Зеркальное изображение в области пластины, г) Зеркальное изображение в области слева от пластины.

Отметим, что значение либо должно соответствовать положению точки наблюдения а не точке изображения

4.3.3. Анализ микрополосковой линии

Рассматриваемыми здесь методами можно рассчитывать и параметры микрополосковых линий. Подход к решению основной задачи в теории микрополосковых линий, а именно к расчету емкости между полосками, разделенными диэлектриком (рис. 4.7), очевиден. Проводящие полоски разбиваются на части так же, как это делалось с поверхностями проводников коаксиальной линии с однородным диэлектрическим заполнением. Затем, как и ранее, составляется матричное уравнение типа (4.16), но теперь в уравнении (4.15) используется функция Грина, соответствующая бесконечному ряду

линейных зарядов (выражение (4.29)). Емкость линии можно определить путем суммирования отдельных зарядов, полученных на основе решения уравнения (4.16) для одного из электродов.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление