Главная > Разное > Метод конечных элементов для радиоинженеров и инженеров-электриков
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

4.2. Одномерные конечные элементы для интегральных уравнений электростатики

В этом разделе в качестве примера, иллюстрирующего применение методов интегральных уравнений в задачах, решаемых с помощью конечных элементов, рассматривается электростатическая задача для коаксиальной линии с произвольной постоянной формой поперечного сечения. Затем повторно исследуется частный случай линии с прямоугольным поперечным сечением, предварительно рассмотренный в разд. 2.5.

Рис. 4.2. Коаксиальная линия произвольного поперечного сечения. Сегменты, обозначенные находятся в данном случае на различных проводниках, но они могут располагаться и на одном и том же проводнике.

Для двумерной системы с трансляционной симметрией, к которой относится рассматриваемая коаксиальная линия, формулу (4.1) следует заменить формулой

где погонная плотность заряда линейного источника, бесконечно протяженного в обоих направлениях, определяет расстояние в плоскости сечения. Некий произвольный радиус введен для того, чтобы задать на некотором контуре нулевой уровень потенциала. При анализе трехмерной задачи с точечными источниками было принято, что нуль находится на бесконечности и никакой произвольной постоянной не требовалось. Здесь же, однако, видно, что потенциал V,

определяемый формулой (4.5), неограниченно возрастает при увеличении Физическая бессмысленность этого результата обусловлена невозможностью практической реализации истинно двумерной модели, бесконечной в осевом направлении.

Допустим, что в пространстве между двумя коаксиальными проводниками нет свободных зарядов. Тогда погонная поверхностная плотность заряда а на контуре ограничивающем сечение волновода, где значение потенциала равно будет определяться интегральным уравнением

где радиус-векторы точек на контуре лежащие в плоскости сечения. Уравнение (4.6) можно непосредственно применить к геометрии задачи, показанной на рис. 4.2, если контур отождествить с «суммой» контуров и относящихся соответственно к внутреннему и внешнему проводникам коаксиальной линии. Потенциалы на контурах и обозначим соответственно через и

4.2.1. Решение интегрального уравнения с помощью метода конечных элементов

Разделим контуры и в общей сложности на отрезков. Присвоим отрезкам номера Длину каждого отрезка обозначим через при этом они не обязательно должны быть одинаковыми. Предположим, что погонная поверхностная плотность заряда а на каждом отрезке представлена некоторой функцией а. Каждая функция будет считаться равной нулю вне своей подобласти Функция Грина для данной задачи имеет вид

Тогда уравнение (4.6) можно записать в виде

Каждую функцию внутри своей подобласти представим системой линейно независимых базисных функций

Теперь для определения коэффициентов можно применить метод Галёркина (он рассматривается также в разд. 6.3.4)

и таким образом найти распределение о, которое и является решением задачи. Подставляя выражение (4.9) в формулу (4.8), умножая обе части равенства (4.8) на одну из базисных функций подобласти и интегрируя по этой области, получаем

Левая часть уравнений (4.10) представляет известный вектор из членов. Двойной интеграл в правой части этих уравнений также можно вычислить, хотя эти вычисления не очень простые. Таким образом, уравнение (4.10) можно представить в матричной форме

где квадратная числовая матрица порядка неизвестный вектор, представленный столбцом из элементов, который можно определить из уравнения (4.11) с помощью обычных методов решения матричных уравнений. Зная вектор можно с помощью формулы (4.9) восстановить распределение о и затем определить, например, величину емкости С на единицу длины коаксиальной структуры, представленной на рис. 4.2. Следует отметить, что значение С определяется по полному заряду на одном из проводников

с учетом соотношения

Таким образом, видно, что, получив весьма детальную информацию о векторе мы усредняем значительную часть этих данных при вычислении емкости С.

4.2.2. Кусочно-постоянная аппроксимация

Во многих случаях достаточно считать оасппеделение поверхностного заряда постоянным в пределах каждой подобласти, как показано на рис. 4.3. Этот случай рассмотрим подробнее. Уравнение (4.10) приобретает вид

где а, в пределах каждой подобласти является постоянной величиной. Обозначим Очевидно, что представляет собой погонную плотность заряда на полоске шириной одной из поверхностей коаксиальной линии.

Рис. 4.3. Пример одномерной кусочно-постоянной аппроксимации функции Характерно, что ширина может быть различной в разных подобластях.

Обозначая через усредненное значение потенциала полоски, из уравнения (4.14) получаем

что соответствует матричному уравнению вида

в котором в данном случае -компонентные векторы соответствуют усредненному напряжению и поверхностному заряду. Используя выражение (4.7), определим матрицу следующим образом:

Очевидно, что определяемые этим выражением элементы можно вычислить точно, используя при необходимости численное интегрирование, иднако можно выбрать настолько мелкое разбиение на элементы, что подынтегральное выражение в формуле (4.17) будет почти постоянным для каждого элемента. В таких случаях в подынтегральном выражении (4.17) следует заменить на соответствующие положениям центров тяжести элементов. Такая аппроксимация не годится для особого случая Для

расчета достаточно рассмотреть прямолинейный элемент, совмещенный с одной из осей координат:

Несмотря на то что подынтегральное выражение в формуле (4.18) имеет особенность, двойное интегрирование приводит к следующему конечному результату

Аналогичные выражения могут быть получены и для «почти сингулярных» случаев соседних подобластей Однако вычислять их нецелесообразно, поскольку погрешность, связанная с использованием простой формулы

никогда не превышает нескольких процентов. Таким образом, векторное уравнение

можно в принципе применять для решения задачи о коаксиальном конденсаторе. Матрица зависит от геометрии задачи, в то время как V является известным вектором: равно или в зависимости от того, находится ли соответственно на внутреннем или внешнем проводнике коаксиала. Отметим, что вектор имеет компоненты причем свобода в выборе размеров элементов обеспечивает большие преимущества.

Теперь можно убедиться в том, что константа введенная в выражение (4.5) для определения контура, на котором потенциал обращается в нуль, не влияет на решения уравнения (4.16). Из формулы (4.17) ясно, что приводит лишь к наличию постоянного слагаемого во всех элементах матрицы Таким образом, уравнение (4.16) можно записать в виде

Но представляет собой равный нулю полный заряд системы. Поэтому ясно, что при описании матрицы может быть использован любой конечный постоянный масштабный коэффициент,

4.2.3. Коаксиальная линия прямоугольного поперечного сечения

Сформулированные выше принципы непосредственно применимы к коаксиальной линии прямоугольного поперечного сечения, рассматривавшейся в разд. 2.5 для случая, когда пространство между проводниками однородно. Анализ, проведенный в гл. 2, показал, что можно использовать две плоскости симметрии, и это, естественно, справедливо и для рассматриваемого метода интегральных уравнений.

Рис. 4.4. Разбиение на секции прямоугольной коаксиальной линии.

Как видно на рис. 4.4, для каждого элемента с центром в Гц, расположенного в первом квадранте и имеющего погонный поверхностный заряд существуют три других симметричных элемента с центрами в точках в остальных квадрантах, причем эти элементы имеют точно такой же заряд. Следовательно, число неизвестных должно соответствовать разбиению границы лишь в первом квадранте. Понятно, что при составлении такого уравнения, аналогичного (4.15) (в случае кусочно-постоянной аппроксимации), функцию Грина, используемую в уравнении (4.17), следует записать в виде

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление