Главная > Разное > Метод конечных элементов для радиоинженеров и инженеров-электриков
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Глава 4. Конечные элементы для интегральных операторов

4.1. Введение

Значение статистического скалярного потенциала на расстоянии от точечного заряда в однородной среде с проницаемостью определяется формулой

которая служит основой еще одного важного метода решения задач, альтернативного методу дифференциальных уравнений в частных производных, использованному выше для решения задач электромагнетизма. Если источниками электростатического поля являются объемный заряд, распределенный с плотностью в данном объеме и поверхностная плотность заряда а на заданной поверхности то скалярный потенциал, создаваемый этими источниками, в соответствии с (4.1) равен

Это соотношение означает суммирование полей, создаваемых элементами заряда, находящимися в различных точках (которые определяются радиус-векторами ), причем суммирование осуществляется в точке определяемой радиус-вектором (рис. 4.1). Положение общей точки начала векторов произвольно и не имеет значения. Отметим, что размерность соответствует вектору введенному в разд. 2.2.1. Такой способ интегрирования целесообразно применять для конечных объемов. Как было показано ранее, выражение (4.2) удовлетворяет уравнениям Максвелла, поскольку оно соответствует уравнению Пуассона для потенциала (2.20). Однако задачи электростатики обычно формулируются не наложением условий на распределения зарядов, а заданием потенциалов проводящих электродов. При этом поверхностная плотность заряда а и распределение потенциала в межэлектродном пространстве считаются неизвестными. В таком случае, полагая, что объемный заряд отсутствует, выражение (4.2) можно переписать в виде интегрального уравнения для неизвестной плотности заряда

в котором предполагается, что обе точки лежат на поверхности а функция задана на поверхности Как правило, функция будет кусочно-постоянной, поскольку она описывает систему электродов, имеющих известные потенциалы. Исходя из физических представлений, можно полагать, что уравнение (4.3) однозначно определяет а. Поэтому неизвестные поля в межэлектродном пространстве можно рассчитать, используя выражение (4.2). Функция

которая входит в соотношения (4.2), (4.3) и представляет собой потенциал в точке создаваемый единичным точечным зарядом, находящимся в точке называется функцией Грина, соответствующей в данном случае неограниченной однородной среде. Следует отметить, что в точке функция Грина имеет особенность. Тем не менее из физических соображений можно полагать, что интеграл (4.3) существует, т. е. особенность является интегрируемой. Понятно, что следует с особым вниманием относиться к выбору алгоритмов для вычисления интегралов типа (4.3).

Рис. 4.1.

Можно доказать, что любые задачи электромагнетизма, описываемые дифференциальными уравнениями в частных производных, независимо от наличия или отсутствия источников поля при заданных краевых условиях могут быть альтернативно сформулированы в виде интегральных уравнений. Для такой формулировки следует найти соответствующую функцию Грина. К сожалению, вид этой функции зависит от характера задачи. Тем не менее в данной главе рассматривается несколько задач, для которых функция Грина известна. Преимущества, обеспечиваемые схемами численных расчетов, основанными на применении интегральных операторов, состоят главным образом в уменьшении числа переменных при операциях с матрицами и исключении необходимости относить на бесконечность границы открытых систем. Выигрыш от уменьшения числа переменных несколько снижается вследствие того, что каждый конечный элемент обычно связан со всеми остальными элементами, так что матрицы в итоге получаются плотными.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление