Главная > Разное > Метод конечных элементов для радиоинженеров и инженеров-электриков
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

3.10. Осесимметричные векторные поля

Многие задачи теории поля не удается описать скалярными потенциалами. В этих случаях необходимо решать задачу для векторной величины, которой может быть один из векторов полей или индукций а также векторный потенциал. В любом случае необходимо решать векторное уравнение Гельмгольца вида

где А — вектор, подлежащий определению, известный вектор источника. Следует отметить, что А в уравнении (3.66) является «векторным» оператором Лапласа

При этом функционал имеет вид

и достигает экстремума для вектора решения уравнения (3.66) при условии, что и удовлетворяет условию

Как и в скалярном случае, наиболее общие типы граничных условий, встречающиеся на практике, приводят к обращению в нуль слагаемого с поверхностным интегралом

В данном разделе будут рассмотрены только осесимметричные модели, в которых оба вектора имеют лишь одну отличную от нуля азимутальную компоненту. Другими словами, вектор и запишем в форме

где единичный вектор в азимутальном направлении. При таком ограничении условие (3.70) имеет вид

Видно, что однородное условие Дирихле, требующее обращения в нуль и на поверхностях, обеспечивает выполнение равенства (3.72).

При указанных допущениях и ограничениях функционал (3.68) становится равным

Здесь дифференцирование и интегрирование относятся только к переменным Этот функционал отличается от скалярного осесимметричного аналога также и тем, что он чрезвычайно неудобен, потому что содержит сингулярное слагаемое которое не допускает использования полиномиального разложения. Однако его можно привести к приемлемому виду заменой переменной, решая задачу для

Вместо удобно использовать функцию

В результате функционал (3.73) принимает вид

Здесь областью интегрирования снова является соответствующая часть плоскости

Для того чтобы развить метод конечных элементов для осесимметричной векторной задачи, остается подставить в (3.76) обычное полиномиальное разложение пробной функции

Эта громоздкая процедура здесь не будет выполняться. Отметим лишь, что все слагаемые в (3.76) теперь являются полиномами и поэтому интегрируются непосредственно. Более того, все интегралы в правой части (3.76) выражаются через симплексные координаты, так что эти интегралы вновь могут быть рассчитаны для некоторого стандартного треугольника. Форма, размеры и местоположение конкретного треугольника в конечном счете определяют лишь весовые коэффициенты. Общий подход в этом случае следует той же схеме, которая использовалась в случае скалярного поля.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление