Главная > Разное > Метод конечных элементов для радиоинженеров и инженеров-электриков
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

1.2. Уравнение Лапласа

В многочисленных задачах электромагнетизма требуется решение двумерных уравнений Лапласа. Например, для

Рис. 1.1. (см. скан) а) Поперечное сечение одной четвертой части коаксиальной линии и граничные условия задачи, б) Поперечное сечение зазора между ротором и статором электрической машины (показана половина шага зубчатого ротора) и моделирование этой области конечными элементами. Жирными линиями показаны границы Дирихле (заданы потенциалы). Остальные границы являются плоскостями симметрии, на которых должна обращаться в нуль нормальная производная потенциала.

изучения свойств ТЕМ-волны в коаксиальной линии передачи, составленной из проводников прямоугольного поперечйого сечения (рис. 1.1,а), необходимо найти распределение

электрического потенциала в пространстве между проводниками. Благодаря, симметрии данной структуры можно при анализе ограничиться четвертой частью исследуемой области. Соответственно возникают два типа граничных условий: заданные значения потенциалов на проводящих металлических поверхностях (условия Дирихле) и равенство нулю значений нормальной производной потенциала на плоскостях симметрии. Данные граничные условия используются при нахождении потенциала и, удовлетворяющего уравнению Лапласа

Аналогично в классическом анализе электрических машин находят распределение магнитного скалярного потенциала в воздушном зазоре (рис. 1.1,6), которое также описывается уравнением Лапласа. Граничные условия при этом сходны с граничными условиями для электрического потенциала: скалярный магнитный потенциал имеет фиксированные значения на металлических поверхностях, а его нормальная производная обращается в нуль на плоскостях симметрии.

В соответствии с хорошо известным принципом минимума потенциальной энергии распределение потенциала в линии передачи или зазоре должно быть таким, чтобы минимизировать запасенную энергию. С точностью до постоянного множителя эта энергия определяется выражением

где интегрирование проводится по всей двумерной области определения решения. Принцип минимума энергии математически эквивалентен уравнению Лапласа в том смысле, что распределение потенциала, удовлетворяющее уравнению Лапласа, будет также минимизировать запасенную энергию, а значения, минимизирующие функционал (1.2), удовлетворяют уравнению Лапласа. Следовательно, возможны два варианта практического подхода к решению краевых задач теории поля. Во-первых, приближенное решение уравнения Лапласа может быть найдено непосредственно, например методом разделения переменных или конечно-разностными методами. Во-вторых, можно получить приближенное выражение для запасенной энергии связанной с потенциалом , в предположении, что потенциал является комбинацией соответствующим образом выбранных простых функций с неопределенными коэффициентами. Тогда из условия минимума запасенной энергии находят эти коэффициенты и тем самым определяют приближенное распределение потенциала. Фактически все методы конечных элементов следуют второму подходу или его вариантам,

Допустим, что есть истинное решение задачи, а достаточное число раз дифференцируемая функция, обращающаяся в нуль в каждой точке границы, на которой величина и задана граничными условиями. Тогда комбинация функций где скалярный параметр, имеет те же заданные значения на границе, что и . Энергия связанная с этим неточным распределением потенциала, равна

Второе слагаемое в правой части этого равенства можно переписать, используя теорему Грина. Тогда

Поскольку функция и удовлетворяет уравнению Лапласа, третье слагаемое правой части данного равенства обращается в нуль. Четвертое слагаемое правой части также должно обращаться в нуль, потому что в любой точке на границе (см. рис. 1.1) либо либо нормальная компонента градиента и обращаются в нуль. Следовательно,

Последнее слагаемое правой части равенства (1.5) положительно, поэтому действительно является минимальным значением энергии, достигаемым для любой допустимой функции при Допустимость здесь означает два условия: 1) функция обращается в нуль на границах области, где задана функция и; 2) функция должна быть по крайней мере один раз дифференцируемой.

Из уравнения (1.5) следует также, что величина энергии отличается от минимального значения на величину, пропорциональную Если распределение потенциала не очень сильно отличается от истинного, то есть если мало, то ошибка в вычислении энергии будет значительно меньше, чем ошибка в вычислении потенциала. Этот факт имеет огромную практическую важность, так как фактически требуемые в инженерной практике величины зачастую тесно связаны с энергией. Таким образом, импедансы, потери мощности или собственно запасенные энергии можно рассчитать довольно точно даже при существенных погрешностях в решениях для потенциалов.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление