Главная > Разное > Метод конечных элементов для радиоинженеров и инженеров-электриков
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

3.8. Осесимметричные скалярные поля

Многие скалярные поля в изотропных, но неоднородных средах описываются неоднородным уравнением Гельмгольца

где характеризует локальные свойства материала, например диэлектрическую проницаемость, удельное магнитное сопротивление, проводимость и т. п. Во многих задачах и функция источника и граничные условия обладают осевой симметрией; примерами могут служить соединения коаксиальных кабелей, высоковольтных изоляторов и резонаторов. В таких случаях математическая задача оказывается двумерной, так как достаточно найти распределение потенциала только в одной азимутальной плоскости. Однако двумерное дифференциальное уравнение и соответствующий функционал отличаются от своих трансляционно-однородных аналогов.

Как указывалось в гл. 2, такие граничные задачи решаются с помощью нахождения экстремума функционала

где дифференциальные и интегральные операции относятся только к координатам Этот функционал отличается от своего планарного аналога тем, что элемент площади содержит весовую функцию, равную

Допустим, что есть область определения решения в плоскости Точно так же как и в двумерном планарном случае, разбиваем на треугольные элементы и вычисляем интеграл (3.48) по каждому треугольнику. Как и раньше (см. разд. 3.4), аппроксимируем на каждом треугольнике с помощью интерполяционных полиномов

Поскольку в подынтегральном выражении в формуле (3.48) имеется явная зависимость от координаты следует выразить эту величину через симплексные координаты. В пределах треугольного элемента может быть представлено в виде линейной интерполяции с помощью трех его значений при вершинах

Подставляя это выражение в формулу (3.48), запишем функционал в виде

Производные по следует преобразовать в производные по симплексным координатам, используя те же методы, что уже были успешно применены в планарном случае. Таким образом,

где А — площадь треугольника, коэффициенты

а индекс равен номеру вершины треугольника. Подстановка этих выражений в (3.52) при использовании тождеств (3.28) дает

Затем в это выражение следует подставить полиномиальные аппроксимации (3.49) и (3.50). Тогда условие стационарности функционала

приводит к соотношениям

Здесь компоненты тензоров равны

Эти формулы для коэффициентов выражены в симплексных координатах, и, следовательно, они представляют собой числовые матрицы, которые достаточно один-единственный раз вычислить и протабулировать. Конечно, когда элементы объединяются, должны быть определены размер, форма и положение треугольника относительно оси симметрии. На языке операторных уравнений соотношение (3.59) может быть записано в виде

который воспроизводит структуру матричного уравнения (3.21), отличаясь лишь выражениями для матриц и Т:

В осесимметричном, но трансляционно-неинвариантном случае положение треугольника относительно глобальной системы координат имеет важное значение, тогда как в двумерном планарном случае его ориентация по отношению к координатным осям не влияет на уравнение (3.21). Это различие ясно отражается в выражениях (3.63) и (3.64), где местоположение и ориентация треугольника относительно глобальной системы координат выражены явно через значения радиальных координат вершин треугольников. С другой стороны, следует отметить, что смещение треугольника в -направлении не изменяет матриц Подобная зависимость соответствует тому, что в осесимметричной задаче выбор начала координат является произвольным в -направлении, тогда как точка обязательно должна быть помещена на оси симметрии.

При внимательном исследовании уравнения (3.51) можно заметить интересную возможность расширения диапазона использования осесимметричной формулировки. Поскольку

сумма трех симплексных координат равна единице, то справедливо равенство

Сравнивая это равенство с выражениями (3.60) и (3.61), определяющими видим, что суммирование по индексу приводит к свертыванию девяти осесимметричных матриц в три соответствующие матрицы трансляционно-симметричного случая. Аналогично суммирование трех матриц несимметричной задачи по индексу дает матрицу (3.19). Этот факт позволяет вывести матрицы для планарной задачи из матриц для осесимметричного скалярного случая.

Девять величин и три величины обладают определенными свойствами симметрии, которые приводят к тому, что немногие из этих матриц являются линейно независимыми. Общие принципы подхода к этой проблеме такие же, как и в планарном случае, отличаются лишь тонкостью деталей. Не приводя доказательства, отметим, что три матрицы и одна оказываются независимыми и должны соответственно быть протабулированы.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление