Главная > Разное > Метод конечных элементов для радиоинженеров и инженеров-электриков
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

3.7. Элементы высоких порядков для расчета волноводов

Как обсуждалось в гл. 2, электромагнитные волны в волноводе с идеально проводящими стенками, заполненном диэлектриком без потерь, описываются функциями и, которые удовлетворяют однородному уравнению Гельмгольца

где критическое волновое число (см. разд. 2.7).

В данном случае метод конечных элементов приводит к матричному уравнению (3.21) с нулевой правой частью, учитывающему условия Дирихле или Неймана для и ТЕ-волн соответственно. Ставится задача определения неизвестных значений составляющих бесконечный ряд собственных значений. Уравнение (3.21) решается стандартными

численными методами и дает конечный ряд собственных значений которые являются приближениями к части величин соответствующих бесконечному ряду. Собственные решения и соответствуют распределению поля в волноводе, как уже было объяснено в разд. 2.7.1. Можно ожидать, что треугольные элементы высокого порядка будут особенно хорошо подходить к задачам, где форма волновода представляет собой многоугольник, так как эта фигура может быть точно представлена объединением треугольников.

Таблица 3.2. (см. скан) Относительная погрешность определения критических частот первых восьми TM-волн в зависимости от порядка и количества треугольных элементов для волновода с сечением в виде правильного треугольника

Точность решений, получаемых методом конечных элементов, может быть оценена сравнением с аналитическими решениями для волноводов, имеющих сечения прямоугольной и правильной треугольной формы. Прямоугольник может быть разбит на два или более треугольников, тогда как для треугольного волновода достаточно точные решения могут быть получены даже при использовании одного элемента высокого порядка.

Поскольку треугольные элементы первых шести порядков рассчитаны и протабулированы, исследователю остается в каждом случае решать дилемму: использовать несколько элементов высокого порядка или выбрать большее число элементов низкого порядка. Для того чтобы дать представление о поведении ошибки в определении спектра волн, в табл. 3.2 приведены погрешности, полученные при расчете критических длин первых восьми ГМ-волн волновода с поперечным сечением в виде правильного треугольника. Использовались элементы разных порядков, причем разбиение области на элементы проводилось таким образом, чтобы каждый раз порядок матричного уравнения равнялся 55. Следовательно, требуемые объем памяти и время счета были для всех случаев одинаковыми. Как видно из табл. 3.2,

использование нескольких элементов высокого порядка дает более точные результаты, чем расчеты с большим числом треугольников низкого порядка.

Волноводы с выпуклыми фигурами в сечениях не имеют областей, где могли бы возникать какие-либо сингулярности. Для таких случаев можно показать теоретически, что относительная погрешность определяется формулой

где максимальный размер любого элемента в модели, порядок полинома, -постоянная, которая в общем случае неизвестна. Из формулы (3.46), как и из табл. 3.2, видно, что использование элементов высокого порядка обеспечивает более высокую точность, поскольку зависимость погрешности от размера (т. е. количества) элементов имеет степенной характер, а зависимость от порядка элементов — экспоненциальный.

Рис. 3.6. Два типа волн прямоугольного волновода, который моделировался двумя треугольными элементами пятого порядка, а) Основная -волна (ТМ). Несмотря на то что вблизи оси волновода наблюдается некоторая неточность, полученное распределение хорошо совпадает с аналитическим решением, б) Волиа В отличие от случая основной волны, здесь ясно видно разбиение волновода на элементы.

Для волноводов с невыпуклыми формами поперечного сечения, где имеются входящие острые углы, не существует аналитически разрешимого тестового примера. Однако расчеты можно сравнить с результатами экспериментальных измерений реальных волноводов. Несмотря на то что особенности поля, возникающие при невыпуклых формах сечений волноводов, приводят к потере точности, использование элементов высоких порядков все же остается предпочтительным.

Полиномиальные аппроксимирующие функции непрерывны на границах элементов, однако их производные могут иметь разрыв. Поэтому приближенные решения будут иметь характерные «складки» на границах элементов, когда аппроксимирующие возможности функций оказываются на пределе. Для примера на рис. 3.6 показаны распределения полей двух типов волн в прямоугольном волноводе, вычисленные для двух элементов пятого порядка. Основная TM-волна

(рис. 3.6, а) аппроксимируется очень хорошо. Структура поля волны на рис. 3.6, б должна бы соответствовать последовательности пяти распределений, подобных изображенной на рис. 3.6, а, но, очевидно, полиномы пятого порядка не могут удовлетворительно смоделировать такую сложную картину. Кроме того, на рис. 3.6,б явно просматриваются складки на диагонали межэлементного соединения.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление