Главная > Разное > Метод конечных элементов для радиоинженеров и инженеров-электриков
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

3.6. Использование треугольных элементов высоких порядков

Объединение элементов следует тому же методу, что и в случае элементов первого порядка (см. разд. 1.4). Например, на рис. 3.4 показано объединение двух треугольных элементов второго порядка. Эта разъединенная пара элементов обладает двенадцатью независимыми узловыми потенциалами, тогда как соединенная пара — лишь девятью. Соответствующие векторы потенциалов связываются уравнением, аналогичным (1.23),

Здесь С — матрица связи, которая выражает ограничения, налагаемые на набор двенадцати потенциалов. Для случая, показанного на рис. 3.4,

Следуя тем же рассуждениям, приведенным в разд. 1.4, получаем для объединенной системы элементов матрицы и Т:

При численных расчетах матрица С обычно не хранится в виде (3.35) в памяти ЭВМ, поскольку она содержит в каждой строке единственный ненулевой элемент, равный единице. Одним из используемых методов хранения С в компактной форме является задание адресной последовательности, вход которой указывает номер столбца с ненулевым элементом в строке. В рассматриваемом примере С (3.35) должно бы быть представлено массивом из двенадцати числовых данных, т. е. в виде последовательности 1, 2, 3, 4, 5, 6, 1, 3, 7, 6, 8,9. Конечно, могут быть придуманы и другие схемы записи.

Нет необходимости также вычислять и хранить в памяти ЭВМ все три матрицы Чтобы убедиться в этом, восстановим трехиндексную нумерацию интерполяционных узлов и функций и, соответственно, трехиндексную нумерацию матричных элементов. Вследствие симметрии, присущей трехиндексной нумерации (рис. 3.5), получаем следующие равенства:

Рис. 3.5. Циклическая перестановка обозначений координат треугольника соответствует циклической перестановке обозначений узлов конечного элемента.

Это означает, что все производные, а потому и все матрицы могут быть получены из одной-единственной с помощью перестановки строк и столбцов, которая соответствует циклическому изменению тройных индексов. Поэтому каждая из трех матриц связана с другими двумя преобразованиями вида

Здесь обозначает соответствующую матрицу перестановки.

Преобразования перестановки в матрицах имеют ясный геометрический смысл, как можно увидеть из рис. 3.5. По приведенному выше определению есть матрица, столбцы которой являются столбцами единичной матрицы, переставленными таким образом, чтобы соответствовать повороту треугольника относительно его центра против часовой стрелки. На рис. 3.5 такой поворот переносит точку в место, ранее занимаемое точкой 1, точку 3 — в точку 2, точку 5 — в точку 3 и т. д. Соответственно матрица перестановки имеет вид

Для краткости часто удобно обозначать преобразования перестановки оператором который символизирует требуемое отображение индексов

Вследствие того что перестановки связаны с поворотами, вряд ли кого-либо удивит, что

поскольку при трех поворотах треугольника каждая точка этого треугольника должна отобразиться в саму себя.

Любая матрица перестановки состоит из столбцов единичной матрицы, так что достаточно знать только местоположение (номер строки) ненулевого элемента в каждом столбце, чтобы передать всю информацию о ней. Таким образом, индексная последовательность дает всю необходимую информацию для выполнения матричных преобразований типа (3.42) для элементов второго порядка. Действительно, само матричное преобразование численно выполняется наилучшим образом не как умножение, а как поисковая операция в последовательности индексов, которая заменяет одну последовательность индексов на другую. Например, многие варианты языка Фортран будут допускать вложенные индексы в виде

Поскольку указанные три матрицы легко получить из какой-либо одной, достаточно вычислить и хранить лишь одну из них. Кроме того, так как симметричные матрицы, то фактически требуется хранить в памяти ЭВМ только часть их элементов.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление