Главная > Разное > Метод конечных элементов для радиоинженеров и инженеров-электриков
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

3.5. Матрицы для треугольных элементов высокого порядка

Прежде чем продолжить решение задачи, необходимо вычислить элементы матриц Начнем с подынтегрального выражения (3.18), которое может быть записано в виде

Правило дифференцирования сложной функции позволяет записать

Но из выражения (3.7) следует, что производная в правой части (3.23) равна

Используя формулы (3.23), (3.24) и записывая аналогичные выражения для производных по у, можно выразить соотношение (3.22) через функции от симплексных координат треугольника

Здесь А — площадь треугольника, а коэффициенты равны

Везде выше нижние индексы изменяются от 1 до 3 соответственно трем вершинам треугольника. Двойное суммирование в выражении (3.25) может быть сведено к суммированию по одному индексу, если принять во внимание, что

где угол при вершине обозначают три вершины треугольника. (Доказательства этих тригонометрических

тождеств дано в приложении). Подстановка выражений (3.28) в формулу (3.25) дает

Интеграл в правой части этого уравнения является безразмерным и содержит только величины, выраженные через симплексные координаты. Поскольку этот интеграл имеет универсальный характер, целесообразно выразить его через углы представляя выражение (3.29) в виде

Три матрицы являются числовыми и не зависят от размеров треугольника и его расположения, поэтому их можно вычислить и представить в виде таблиц. (Подробности процедуры интегрирования можно найти в приложении.)

Метрическую матрицу (3.19) вычислить несколько проще, чем Поскольку элементы матрицы имеют размерность площади, целесообразно вычислять матрицу определяемую выражением

где интеграл в правой части оказывается безразмерным и не зависит от размеров и положения треугольника. Матрица также оказывается универсальной. Таким образом, использование симплексных координат позволяет записать метрическую матрицу и матрицу Дирихле универсальным способом, справедливым для любого треугольника. Его форма обусловливает значения коэффициентов-котангенсов прилегающих углов в трех вершинах, которые входят в матрицу а размеры определяют общий множитель в матрице

Интегрирования в выражениях (3.29), (3.31) выполнить сравнительно несложно. Записывая безразмерный элемент поверхности интегрирования через симплексные координаты и интегрируя по частям, получаем

В приложении показано, что

Таким образом, полиномиальные подынтегральные выражения могут быть перемножены, а затем почленно проинтегрированы. Так как значения элементов матриц являются универсальными, матрицы были протабулированы для элементов вплоть до порядка. В табл. 3.1 представлены матрицы для элементов первых трех порядков.

Таблица 3.1. (см. скан) Матрицы для треугольных элементов первого, второго и третьего порядков. Вследствие симметрии матриц оказалось возможным в верхней части каждой матрицы представить значения элементов матрицы а в нижней — матрицы которые следует отнести к соответствующим общим знаменателям. Данные результаты приведены в International Journal оf Engineering Science, 7, 849—861 (1969)

(см. скан)

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление