Главная > Разное > Метод конечных элементов для радиоинженеров и инженеров-электриков
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

3.4. Плоские треугольные элементы

Различные задачи электромагнетизма могут рассматриваться как частные случаи неоднородного уравнения

Гельмгольца

с различными граничными условиями, среди которых, вероятно, наиболее часто встречаются в приложениях однородное условие Неймана (обращение в нуль нормальной производной) и граничное условие Дирихле (заданные значения на границе). Как подробно показано в гл. 2, решения уравнения (3.12) определяют экстремальные значения функционала

при условии, что пробные функции непрерывны внутри области определения решения и удовлетворяют граничным условиям Дирихле для рассматриваемой задачи.

Для того чтобы построить приближенное решение задачи на основе треугольных элементов высокого порядка, используем процедуру, аналогичную использованной для элементов первого порядка. Область определения разбивается на треугольники и на каждом треугольнике потенциальная функция представляется в виде линейной комбинации аппроксимирующих (построенных выше) функций

Каждая из этих аппроксимирующих функций обращается в нуль во всех узловых точках, за исключением связанного с ней узла, где она имеет единичное значение. Следовательно, коэффициенты в (3.14) равны значениям потенциалов в узлах интерполяции. Кроме того, потенциалы на границах элементов будут непрерывными. Покажем это следующим образом. Если есть полиномиальная функция степени не больше совокупно то вдоль любой прямой линии в плоскости функция должна быть соответственно полиномом степени не больше от расстояния измеренного вдоль прямой линии. Треугольный конечный элемент порядка имеет узел вдоль каждой стороны треугольника. Так как должно быть полиномиальной функцией степени на каждой стороне треугольника, эти узловых значений фиксируют значение на каждой стороне. Очевидно, что узлы на сторонах треугольников являются общими для каждой пары смежных треугольников. Поэтому изменение потенциала по любую сторону от границы между элементами определяется теми же самыми параметрами, и оказывается непрерывным на границах элементов.

Теперь подробно остановимся на отдельном треугольном элементе, откладывая пока вопрос о связи между элементами

для формирования всей области определения решения. Подставляя аппроксимации (3.14) для в выражение (3.13), преобразуем функционал к виду

Хотя это, вообще говоря, и не обязательно, вынуждающая функция зачастую аппроксимируется на каждом треугольнике теми же полиномами, что и потенциал

Существуют различные пути определения коэффициентов при этой аппроксимации. Например, может быть использована интерполяционная аппроксимация, когда коэффициенты являются просто значениями в интерполяционных узлах. Используя аппроксимацию вида (3.16) и какой-либо метод для нахождения коэффициентов, можно выразить функционал в следующей матричной форме:

Здесь вектор коэффициентов в разложении (3.14), вектор коэффициентов в сумме (3.16); квадратные матрицы определяются выражениями

Матрицы связанные с частной системой аппроксимирующих функций, иногда называют соответственно матрицей Дирихле и метрической матрицей. Аналогичные матрицы, применяемые в задачах упругости, называют соответственно матрицей жесткости и матрицей нагрузки.

Фундаментальным свойством функционала является его стационарность. Поскольку в виде (3.17) есть обыкновенная функция конечного числа переменных (компонент вектора требование стационарности приводит к уравнениям

для всех которым соответствуют нефиксированные компоненты Подставляя выражение (3.17) в уравнение (3.20) и

выполняя указанные дифференцирования, получаем матричное уравнение

Решение этого уравнения для определяет приближенное значение в рассматриваемой области и, таким образом, является решением поставленной задачи.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление