Главная > Разное > Метод конечных элементов для радиоинженеров и инженеров-электриков
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

3.3. Интерполяция на симплексах

Для построения конечных элементов в задачах по определению потенциала требуются подходящие интерполяционные функции Такие полиномы могут быть легко определены с помощью некоторого семейства вспомогательных полиномов Член этого семейства с номером определяется выражением

Этот полином имеет нули при и принимает единичное значение при Другими словами, он имеет эквидистантно расположенных нулей левее точки и ни одного нуля справа.

Рис. 3.2. а) Отрезок линии и полиномы для которых но которые не обращаются в нуль в узле 2.1. б) Графики четырех кубических интерполяционных полиномов для отрезка линии.

На одномерном симплексе (линейный отрезок некоторой заданной длины) семейство полиномов степени нулями можно определить формулой

Здесь подразумевается, что Построение функций показано на рис. 3.2, а. Нетрудно увидеть, что они представляют собой не что иное, как интерполяционные полиномы Лагранжа, записанные в необычной форме. Можно также заметить, что каждый интерполяционный полином и каждый интерполяционный узел обозначаются двойным индексом, указывающим его местоположение в двух симплексных координатах. Этот способ обозначения подчеркивает связь между интерполяционными функциями и соответствующими

интерполяционными точками и в то же время указывает на симметрию, присущую симплексу. На рис. 3.2, б показано полное семейство интерполяционных полиномов степени 3, построенных указанным способом.

Для треугольников применяется точно такой же метод. Интерполяционные функции определяются выражением

Как и в предыдущем примере, результирующие полиномы являются интерполяционными на множествах регулярно расположенных точек, как показано на рис. 3.3. Нетрудно увидеть, что имеется таких точек на треугольнике и что естественная нумерация точек содержит три индекса. Во многих применениях многоиндексная нумерация является неудобной из-за большой длины индексных рядов, поэтому становится предпочтительной одноиндексная схема нумерации, даже если не ясно «высвечивается» геометрическая симметрия, присущая симплексу. Соответствующие одноиндексная и трехиндексная схемы нумераций также показаны на рис. 3.3.

Рис. 3.3. Расположение интерполяционных узлов на отрезках линии и треугольниках, демонстрирующее альтернативные (одноиндексные и многоиндексные) системы нумерации.

Полиномы, определяемые соотношениями (3.10), (3.11), обладают двумя свойствами, важными для построения конечных элементов. Во-первых, они определяются через симплексные координаты и поэтому остаются инвариантными при поворотах и трансляциях глобальной системы координат. Во-вторых, симплексные координаты охватывают одинаковый диапазон значений (от нуля до единицы) в любом симплексе, и, следовательно, большая часть рутинной работы при записи уравнений конечных элементов может быть выполнена в симплексных координатах один-единственный раз.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление