Главная > Разное > Метод конечных элементов для радиоинженеров и инженеров-электриков
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

3.2. Симплексные координаты

Аппроксимирующие функции, использованные в треугольных конечных элементах первого порядка, обладают двумя фундаментальными свойствами, которые объясняют простоту и привлекательность метода. Во-первых, непрерывность искомой функции на границах между треугольниками гарантируется лишь равенством значений функции в совпадающих вершинах треугольников. Во-вторых, полученные аппроксимации никоим образом не зависят от расположения

треугольников по отношению к глобальной системе координат (х,у). Последняя особенность, вероятно, геометрически очевидна: поверхность решения локально определяется значениями функции в вершинах треугольника и поэтому не изменяется при переопределении осей х и у, даже если изменяются алгебраические выражения для аппроксимирующих функций на каждом треугольнике. Оба эти ценные свойства сохраняются и для аппроксимаций высокого порядка при соответствующем определении локальных базисных функций внутри каждого треугольника.

Наиболее просто теория базисных полиномов излагается на языке так называемых симплексных координат. Симплекс 5 в -мерном пространстве определяется как наиболее простая нетривиальная геометрическая фигура с вершиной. Следовательно, одномерный симплекс представляет собой отрезок прямой линии, двумерный симплекс — треугольник, а симплекс в трехмерном пространстве — тетраэдр. Знание координат его вершин достаточно для однозначного определения любого симплекса. Размер симплекса определяется формулой

Элементами этого детерминанта являются координаты вершин симплекса. Нижние индексы определяют номера вершин, а верхние — номера ортогональных координат в -мерном пространстве. При таком определении размером отрезка является его длина, треугольника — его площадь, тетраэдра — его объем и т. д.

Пусть некоторая точка расположена внутри симплекса 5. Тогда однозначно определяет расчленение на подсимплекс, каждый из которых имеет точку в качестве одной из вершин; при этом оставшиеся вершины подсимплексов берутся из числа вершин симплекса Например, отрезок линии делится на два линейных (под) отрезка лежащей на нем точкой аналогично треугольник разбивается на три (под)треугольника любой внутренней точкой как показано на рис. 3.1, а. Понятно, что каждый из 1 подсимплексов полностью помещается внутри симплекса Размер 5 равен сумме размеров подсимплексов

Это соотношение может быть получено геометрически или выведено алгебраически из формулы (3.1).

Расчленение на подсимплексы всецело определяется выбором точки И наоборот, задание размеров подсимплекса (отнесенных к размеру может рассматриваться как определение местоположения точки внутри симплекса Таким образом, можно определить чисел

совокупность которых однозначно определяет точку внутри 5. Эти числа обычно называются симплексными (или однородными) координатами точки Геометрический смысл величин отношение длины перпендикуляра, опущенного из точки на одну из граней симплекса, к длине опушенного на ту же грань перпендикуляра из вершины симплекса, противоположной данной грани.

Рис. 3.1. а) Любая внутренняя точка определяет разделение треугольника на подтреугольники. б) Симплексные координаты определяются отношением расстояний от точки до какой-либо стороны треугольника и от той же стороны до противоположной вершины.

Для двумерного случая в этом нетрудно убедиться с помощью рис. 3.1,б, учитывая, что отношение площадей треугольников (1,2,3) и равно отношению их высот, поскольку оба треугольника имеют в качестве основания линию (2,3). Столь же геометрически очевидно и легко выводимо из выражений (3.2) и (3.3) равенство

Эту линейную зависимость симплексных координат тоже нетрудно понять, поскольку их количество на единицу превышает требуемое для определения точки в -мерном пространстве.

Переход от глобальных декартовых координат к локальным симплексным координатам легко осуществляется с помощью выражения (3.3). Допустим, например, что некоторый треугольник размещен в плоскости Тогда первая симплексная координата точки равна

Разлагая первый определитель по минорам первого столбца, получаем

Здесь А — площадь рассматриваемого треугольника. Вычисляя миноры, находим

Аналогичные вычисления для остающихся двух симплексных координат дают, таким образом, уравнение преобразования

Необходимо отметить, что симплексные координаты являются чисто локальными; выражение (3.3) определяет значения симплексных координат для данной точки, инвариантные относительно трансляции или поворота глобальной системы координат. Это свойство имеет огромное значение. Оно позволяет выполнить наибольшую часть математической формулировки уравнений для какого-либо треугольника; в дальнейшем эти результаты можно применять ко всем остальным треугольникам с помощью простых правил преобразования координат.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление