Главная > Разное > Метод конечных элементов для радиоинженеров и инженеров-электриков
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

2.8. Трехмерные скалярные задачи Лапласа и Гельмгольца

Неоднородное уравнение Гельмгольца (2.34) и соответствующий ему функционал (2.38) обсуждались пока только в контексте задач, которые обладают симметрией, позволяющей трактовать их как двумерные. Когда искомая функция является скалярной величиной, то нет никаких особых трудностей в рассмотрении трехмерных задач. Конечно, требуются дополнительные, иногда значительные объемы численных расчетов в случаях, когда задачу необходимо решить с высокой точностью. Однако этот аспект здесь нас интересовать не будет. Ниже рассматриваются две практические задачи, которые служат типичным примером подхода, использующего одну независимую скалярную функцию, заданную в трехмерном пространстве.

Сначала рассмотрим задачу вычисления омического сопротивления тела произвольной формы, например,

изображенного на рис 2.13 и состоящего из двух различных материалов, имеющих проводимости На тело поданы потенциалы и по цепи протекает ток Очевидно, что искомое сопротивление равно

Локальные свойства материала характеризуются законом Ома

Рассмотрим установившееся состояние, когда

так что

В случае отсутствия изменения во времени уравнение непрерывности (2.8) требует, чтобы дивергенция плотности тока обращалась в нуль Таким образом, из уравнения (2.150) получаем

Рис. 2.13. Электрическая цепь, включающая проводящее тело неправильной формы.

Это уравнение совместно с краевыми условиями определяет потенциал, нахождение которого дает возможность решить задачу. Граничными условиями на поверхности контактов являются равенства Заметим, что на свободной поверхности тела нормальная компонента тока должна обращаться в нуль, так как ток не может вытекать в окружающее изолирующее пространство. Поэтому, как следует из уравнения (2.150), на свободной поверхности должна обращаться в нуль нормальная компонента градиента потенциала А это не что иное, как однородное естественное граничное условие Неймана. Уравнение (2.151) представляет собой упрощенный вариант весьма общего уравнения (2.34), рассмотренного в разд. 2.3.

Таким образом, функционал (2.38) принимает в данном случае вид

Это выражение имеет экстремум при и — V, где V удовлетворяет уравнению (2.151) и условиям Дирихле, которые применяются к поверхностям контактов. Вновь отметим, что не требуется никаких ограничений на поверхностях, где

реализуется естественное граничное условие Неймана. Если а кусочно-постоянна, как в примере, показанном на рис. 2.13, то уравнение (2.151) сводится к уравнению Лапласа Однако, для того чтобы использовать стационарные свойства функционала, составленного из функционалов для областей с кусочно-постоянной проводимостью, и получить решения, которые удовлетворяют условиям на границах раздела между такими областями, должно быть сохранено, конечно, условие непрерывности нормальной компоненты вектора Вычислив распределение потенциала V, можно получить выражение для тока и тем самым в соответствии с (2.147) — значение сопротивления

Здесь интегрирование производится по любому поперечному сечению через которое протекает полный ток, как показано на рис. 2.13.

2.8.1. Задачи акустики

Теперь рассмотрим другой пример — трехмерную задачу об акустических колебаниях в резонаторах, заполненных воздухом. Не будучи непосредственно связанной с электричеством, эта задача тем не менее является любопытным примером, так как именно для нее впервые Гельмгольцем было использовано уравнение, чье имя оно теперь носит. В данном разделе это уравнение применяется для расчета резонансных частот акустических залов, резонаторов громкоговорителей и т. д. Теория акустики излагается здесь весьма кратко; для детального изучения читателю следует обратиться к учебникам, например книге Мейера и Неймана [5].

Звуковые волны в воздухе представляются продольными возмущениями давления на фоне некоторого статического давления Такие возмущения описываются волновым уравнением

где с — скорость звука в воздухе

статическая плотность воздуха, у — отношение удельных теплоемкостей воздуха при постоянных давлении и объеме. Возмущение скорости воздуха связано с малым изменением

давления линеаризованным уравнением движения

Уравнения (2.154) и (2.156) могут быть представлены в комплексной форме при заданной частоте колебаний

В уравнении (2.157) нетрудно узнать уравнение Гельмгольца (2.34), так что результаты разд. 2.3 могут быть непосредственно применены здесь, если известны соответствующие граничные условия. Для резонаторов с жесткими стенками нормальная составляющая скорости должна обращаться в нуль на стенках. Очевидно, что это ограничение является естественным условием Функционал, получаемый из (2.38) и соответствующий уравнению (2.157)

достигает экстремума при совпадающих с решениями уравнения (2.157) для возмущений давления В гл. 3 будет показано, как выполнение условий стационарности для связанной системы конечных элементов дает матричное уравнение, собственные значения которого представляют последовательность значений соответствующих нетривиальным решениям уравнения (2.157). Поскольку то определение дает искомые резонансные частоты резонатора. Эта задача в ее трехмерном варианте рассматривается также в гл. 6.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление