Главная > Разное > Метод конечных элементов для радиоинженеров и инженеров-электриков
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

2.7. Распространение волн в однородных волноводах

Задача расчета электромагнитных полей и параметров часто возникает при инженерном проектировании и физическом анализе. Большинство задач электромагнетизма может быть сведено к решению дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка, подчиненных граничным условиям. Этот факт указывает на возможность продуктивного использования метода конечных элементов для расчета волновых процессов. В данном разделе излагается вариационная формулировка одной из простейших задач распространения волн — задачи для однородного волновода — с целью подготовки ее для решения методом конечных элементов в гл. 3.

Этот раздел касается главным образом основных свойств волноводов, и мы отсылаем читателя за подробностями к соответствующим учебникам, например [1,4].

Рис. 2.12. Схематическое изображение образования волны ТМ-типа в волноводе. Волнистыми линиями показаны два возможных направления распространения.

В сущности поведение волноводов обусловлено очевидным свойством полой трубы с отражающей внутренней поверхностью — передавать энергию электромагнитной волны от одного конца к другому. Возможно, многие наблюдали это явление, смотря через длинную трубу с зеркальной внутренней поверхностью.

В зависимости от характера ориентации векторов электрического и магнитного полей по отношению к стенкам волновода электромагнитные волны в волноводе разделяются на два независимых типа (моды). Для одной из мод, поперечно-магнитной (ТМ) волны, вектор магнитного поля перпендикулярен оси волновода, а вектор электрического поля имеет как поперечную, так и продольную компоненты. В случае поперечно-электрической, или -волны, вектор электрического поля перпендикулярен оси волновода, а вектор магнитного поля имеет поперечную и продольную компоненты. На рис. 2.12 схематически показано, как может возникнуть ТМ-волна, если изменить направление распространения плоской волны в плоскости, перпендикулярной вектору Аналогично можно представить себе и образование ТЕ-волны, когда распространение плоской волны отличается от осевого и определяющий направление распространения вектор лежит в плоскости, перпендикулярной вектору

Заметим, что приведенная схематическая картина образования двух типов волн значительно усложняется явлениями интерференции волн, отраженных от стенок волновода. Это явление приводит к возникновению волн разных порядков (поперечному квантованию). Оказывается, что распространяться по волноводу без затухания могут лишь достаточно короткие волны, длина которых сравнима с диаметром волновода.

2.7.1. Основные дифференциальные уравнения для волноводных типов волн

Рассмотрим цилиндрический волновод произвольного поперечного сечения, ось которого совпадает с осью Изучим возможность распространения монохроматической волны с частотой по такому волноводу, представляя электрическое и магнитное поля в виде

Здесь постоянная распространения, соответствующая длине волны в волноводе. В более общем случае, когда имеет место затухание волны, постоянная распространения является комплексной величиной. Выражения (2.122) и (2.123) следует подставить в уравнения Максвелла, записанные для случая отсутствия сторонних токов

В результате получаем

Уравнения (2.126) и (2.130) могут быть разрешены относительно уравнения (2.127) и (2.129) — относительно

и При этом имеем

Таким образом, с помощью формул (2.132) — (2.135) можно выразить все компоненты и через

Основные волновые уравнения для получаются из уравнений (2.124) и (2.125) путем исключения соответственно электрического или магнитного полей; предполагая, что постоянные, находим

Принимая во внимание экспоненциальную зависимость полей от координаты из (2.137), (2.138) получаем для -компо-нент полей уравнения

в которых введен поперечный лапласиан

Как видно из выражений (2.132) — (2.135), возможно существование двух типов волн: поперечно-электрических для которых и поперечно-магнитных когда Для анализа этих типов волн основополагающими являются уравнения (2.139), (2.140) (так как все другие величины выражаются через Заметим, что эти уравнения представляют собой упрощенную форму уравнения Гельмгольца (2.34), так что при их решении могут быть использованы вариационные методы.

Прежде чем приступить к детальному рассмотрению этого подхода, необходимо установить граничные условия для каждой из этих мод. Для большинства случаев хорошей аппроксимацией оказывается предположение о том, что стенки волноводов являются идеальными проводниками. Там, где этого недостаточно, может быть получено более точное решение, учитывающее потери в стенках волновода путем некоторой

модификации выражений для случая без потерь. Для волновода с идеально проводящими стенками граничные условия, как было установлено в разд. 2.1, требуют, чтобы обращалось в нуль на его стенках. Следовательно, в качестве граничного условия, связанного с уравнением (2.139), следует использовать краевое условие Дирихле Поскольку все компоненты поля -волны определяются выражениями (2.132) — (2.135), полученными из уравнений Максвелла, то достаточно, чтобы подчинялось своему граничному условию, а ограничения, которые должны быть наложены на другие компоненты будут удовлетворены автоматически. Однако из уравнения (2.140) граничные условия, приведенные в разд. 2.1, не дают непосредственных ограничений на

Допустим, что часть границы лежит в плоскости Уравнения (2.133) и (2.134) дают для -волны

Точные граничные условия требуют, чтобы нормальная компонента и тангенциальная компонента обращались в нуль; в данном случае на граничном элементе в плоскости должны обращаться в нуль Ну и Оба требования удовлетворяются, если т. е. когда обращается в нуль нормальная производная. Поскольку оси х и у были выбраны произвольно, можно с уверенностью полагать, что граничным условием для -волн является требование независимо от ориентации граничного элемента. Очевидно, что уравнение (2.140), определяющее -волны, подчиняется естественному граничному условию (однородному условию Неймана). Несмотря на то что дифференциальные уравнения, описывающие и -волны, одинаковы, различные краевые условия для них приводят к существенно отличным свойствам двух типов волн.

2.7.2. Вариационная задача

Теперь рассмотрим вариационную задачу для волн в однородных волноводах. Из сравнения уравнений (2.139) и (2.34) видно, что для -волн функционал (2.38) принимает вид

В этом случае следует использовать граничное условие Дирихле на границе волновода (контуре, окружающем

двумерную область ). Аналогичный функционал для с естественным граничным условием используется для ТЕ-волн. Вводя обозначение видим, что уравнения (2.139) и (2.140) соответствуют задачам на собственные значения, нетривиальные решения которых существуют лишь в случае, когда принимает одно из дискретных значений, определение которых является частью задачи. Вычисление этого дискретного ряда чисел методом конечных элементов излагается в гл. 3. Здесь мы отметим, что для каждого из этих двух типов волн существует полная система собственных функций соответствующих дискретному ряду собственных значений (волновых чисел) Каждому значению соответствует величина

Таким образом, видно, что каждая волна имеет определенную постоянную распространения и структуру поля. Заметим, что при любой заданной частоте можно выбрать достаточно большое собственное значение когда величина становится отрицательной. В таком случае постоянная распространения оказывается чисто вещественной величиной и волны будут затухать при распространении вдоль волновода. Для каждой волны существует наименьшая или критическая частота соответствующая

При волна не распространяется свободно по волноводу, а экспоненциально затухает с расстоянием.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление