Главная > Разное > Метод конечных элементов для радиоинженеров и инженеров-электриков
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

2.6. Формулировка осесимметричных задач для потенциалов

Другой класс задач, допускающих двумерное представление и соответствующую экономию вычислительных ресурсов, — задачи для структур с осевой симметрией.

В качестве примера вновь рассмотрим статическое распределение поля вблизи неоднородности коаксиального кабеля (рис. 2.9), связанной с наличием ступеньки на внутреннем проводнике и диэлектрической шайбы. Функционал по-прежнему определяется выражением (2.76). Вследствие азимутальной симметрии задача оказывается двумерной, так как ни один анализируемый параметр не зависит от в цилиндрической системе координат Следовательно, интегрирование по может быть выполнено непосредственно при

определении функционала; элемент объема принимает вид

и для функционала имеем выражение

Вновь, как и прежде, в схемах конечных элементов используется свойство стационарности при V, являющемся решением однородного уравнения Пуассона (2.77), а пробные функции V должны удовлетворять граничным условиям Дирихле.

Рис. 2.9. Неоднородность в коаксиальном кабеле.

Здесь это следующие условия: соответственно на внутреннем и внешнем проводниках коаксиального кабеля. В данной задаче предполагается, что длина кабеля по обе стороны от скачка достаточно велика. Потенциал искажается лишь вблизи скачка, поэтому при решении задачи можно ограничиться объемом между достаточно удаленными от скачка поперечными плоскостями показанными штриховыми линиями на рис. 2.9. В качестве дополнительных граничных условий можно использовать на этих плоскостях граничное условие Неймана. Как и ранее, непрерывность тангенциального электрического поля на границах раздела диэлектриков требует непрерывности V на поверхности диэлектрической шайбы. При этом использование функционала (2.97) с соответствующими резкими изменениями автоматически гарантирует, что нормальные компоненты поля, полученного с использованием экстремального свойства функционала удовлетворяют граничным условиям, приведенным в разд. 2.1.

2.6.1. Осесимметричная система с нелинейным магнитным материалом

Теперь рассмотрим осесимметричную задачу, в которой магнитное поле создается токами в соленоидах, примыкающих к аксиально-симметричной цепи магнитопровода. Типичным

примером практической задачи этого типа является расчет линзы электронного микроскопа (рис. 2.10). Достижение оптимальных характеристик при проектировании такой системы требует очень точного расчета магнитных полей для любой заданной геометрии.

Как было указано в случае системы с трансляционной симметрией, требование включения областей, где протекает ток, диктует необходимость решения задачи для векторного потенциала А. Вместо того чтобы попытаться использовать правила, которые были установлены для скалярного уравнения Гельмгольца, проще приступить к решению задачи заново. В данном случае было бы неверно считать, что при типичных условиях работы линзы не зависит от В, т. е. что магнитные материалы являются линейными, рассмотрение нелинейных магнитных задач в деталях приводится в гл. 5. Здесь же рассматривается вариационная основа для постановки более простой линейной задачи, а нелинейные эффекты учитываются с помощью незначительного дополнительного усложнения.

Рис. 2.10. Схематическое изображение магнитной линзы электронного микроскопа.

Задача формулируется относительно векторного потенциала А, так что магнитная индукция определяется уравнением (2.18). Предполагается, что магнитный материал характеризуется некоторой экспериментально полученной зависимостью

Будем рассматривать изотропные материалы, когда направление всегда совпадает с направлением В. Кроме того, обозначая величины этих двух векторов соответственно можно ожидать, что должно бы монотонно увеличиваться с ростом В. Уравнение (2.98) может быть записано в другом виде

где удельное магнитное сопротивление. Определим величину

где введена фиктивная переменная В выражении (2.100) интеграл берется в пределах от до В простом изотропном случае характеристику магнитного материала и выражение (2.100) для можно представить графически, как показано на рис. 2.11. В величине несложно угадать плотность энергии магнитного поля, хотя эта идентификация не играет в дальнейшем никакой роли. Формулировка задачи завершается предположением, что протекающий ток является постоянным. Магнитное поле в этом случае определяется уравнением и будет существовать единственное решение А для данного тока при учете краевых условий, наложенных на А на некоторой граничной поверхности охватывающей объем С учетом того что

попытаемся доказать, что функционал

достигает экстремума при Допустим, что

Если

где В есть истинное решение, соответствующее А, то из уравнения (2.101) получаем

Рис. 2.11. Характеристика намагничиваемости магнитного материала.

Теперь

Предположим, что В есть лишь малое возмущение В. Конечно, условие стационарности при требует обращения в нуль только возмущения первого порядка В линейном по В приближении из выражения (2.107);

получаем

Таким образом, из выражения (2.102) для имеем

Если в этом выражении заменить на то

Теперь используем векторное тождество

из которого после применения уравнения (2.105) следует

Следовательно, выражение (2.110) можно записать в виде

Используя теорему Остроградского — Гаусса, преобразуем это выражение к следующей форме:

где единичный вектор, нормальный к поверхности охватывающей объем Используя циклические свойства смешанного произведения, можно следующим образом записать выражение (2.114):

Первая вариация обращается в нуль, если на граничной поверхности выполняется одно из двух условий: или ограничено функциями, которые удовлетворяют краевым условиям на т. е. обращается в нуль на пли должна быть поверхностью, нормаль к которой совпадает с направлением так что обращается в нуль Конечно, может состоять из поверхностей, на каждой из которых остается справедливым одно из приведенных выше краевых условий. С помощью несложных алгебраических преобразований можно показать, что для изотропной среды условие соответствует вектору А, тангенциальному 5, причем нормальная производная на 5 обращается в нуль. Так,

допустим, что в данной точке есть вектор (0,0, 1). Находим, что

Это выражение обращается в нуль, когда описанные выше краевые условия локально удовлетворяются.

Возвращаясь к задаче для осесимметричной линзы, видим, что в цилиндрической системе координат и ток, и век торный потенциал имеют только -компоненты

С другой стороны, вектор направлен везде параллельно плоскости

Эта задача по существу двумерная с одной неизвестной функцией и внешним источником Индекс означающий, что являются фактически компонентами векторов, в дальнейшем опускается. Очевидно, что формулировка задачи для линейного случая состоит в том, чтобы построить функционалы

для подходящих пробных функций А в каждом конечном элементе Затем можно использовать сумму вкладов всех элементов

благодаря свойству стационарности функционала. Что касается граничных условий и непрерывности на границах элементов, то ситуация здесь такая же, как в задаче с трансляционной симметрией. Нормальная компонента В должна быть непрерывной на каждой границе раздела между элементами. Так как эта составляющая соответствует тангенциальной производной от А, достаточно непрерывности А на таких общих границах раздела. Не требуется, чтобы нормальная производная А была непрерывной. Действительно, непрерывность требует разрыва в случаях, когда меняется скачком на границе. Поскольку требования на границах являются в сущности следствиями уравнений Максвелла, то ограничения на нормальную производную А автоматически удовлетворяются, когда А соответствует этим уравнениям.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление