Главная > Разное > Метод конечных элементов для радиоинженеров и инженеров-электриков
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

2.5. Формулировка задач для потенциалов в структурах с трансляционной симметрией

Многие трехмерные задачи электромагнетизма могут быть аппроксимированы двумерными, соответствующими бесконечно длинной третьей оси (скажем, оси z). Трансляция в этом направлении не сопровождается никакими изменениями свойств материалов, функций источников или геометрии поперечного сечения. Следовательно, сами решения не зависят от или являются периодическими функциями

При использовании двумерных моделей получается значительная экономия средств, затрачиваемых на численные расчеты. В этом разделе будут рассмотрены задачи определения электрического поля в линии передачи произвольного поперечного сечения и магнитного поля в зазоре между стальными магнитопроводами ротора и статора электромотора. В обоих случаях краевыми эффектами пренебрегаем. Тем не менее из таких двумерных моделей можно получить полезные для практики результаты.

2.5.1. Коаксиальная линия передачи

На рис. 2.4, а показан один из простейших случаев двумерной задачи для потенциала, когда внутренний проводник с потенциалом окружен вторым проводником с потенциалом

Рис. 2.4. а) Линня передачи, иллюстрирующая двумерную задачу для потенциала. б) Рассматриваемая область задачи, уменьшенная благодаря использованию симметрии и введению однородных граничных условий Неймана, в) Линия передачи, в которой внутренний проводник покрыт диэлектриком.

Этот пример уже рассматривался в гл. 1 без подробного объяснения формулировки задачи на основании принципов электромагнетизма.

Будем использовать функционал, выраженный непосредственно через потенциал V:

Из уравнения (2.3) следует, что в случае постоянного поля в диэлектрической среде, свободной от зарядов, потенциал должен удовлетворять уравнению

Анализ, приведенный в разд. 2.3, показывает, что функционал (2.76) имеет экстремум для V, являющегося решением уравнения (2.77) и удовлетворяющего граничным условиям. Пробная функция V ограничена при этом условиями на граничных поверхностях.

Как уже отмечалось, функционал можно применять в схемах метода конечных элементов, используя его стационарные свойства. Строго говоря, интегрирование в выражении (2.76) должно выполняться по конечному объему Можно, например, выбрать объем, заключенный между двумя поперечными плоскостями, расположенными на единичном расстоянии друг от друга. Тогда в случаях трансляционной симметрии функционал (2.76) становится двумерным

Структура, представленная на рис. 2.4, а, имеет две плоскости симметрии. Нетрудно сообразить, что в данном случае поставленная задача может быть заменена задачей, показанной на рис. Последняя задача обладает тем преимуществом, что в плоскостях симметрии, показанных штриховыми линиями, применимо однородное краевое условие Неймана. Преимущество достигается за счет деления области определения решения на четыре части (тем самым достигается большая детализация в решении при данных вычислительных возможностях). Кроме того, потенциал на части периметра подчиняется естественному граничному условию, которому легче удовлетворить.

На рис. 2.4, в показан дополнительный диэлектрический вкладыш вокруг внутреннего проводника линии передачи. В этом случае функционал (2.76) вычисляется с учетом соответствующего значения диэлектрической проницаемости в области, занимаемой вкладышем. Пробные функции при этом должны быть непрерывными на поверхностях диэлектрика. В противном случае возник бы разрыв тангенциальной компоненты электрического поля следовательно, были бы нарушены граничные условия, приведенные в разд. 2.1.3. Заметим, что непрерывность нормальной производной потенциала на поверхностях разделов, вообще говоря, невозможна. Действительно, граничные условия требуют, чтобы была

непрерывной нормальная составляющая поэтому нормальная производная потенциала обязательно будет разрывной на границе диэлектрика.

2.5.2. Параллельная полосковая линия

На рис. 2.5 показан вариант задачи для линии передачи, представляющей параллельно-полосковую систему, бесконечную в двух направлениях. Выбранная граничная поверхность замыкается плоскостями показанными штриховыми линиями. Если эти плоскости расположены в областях, где проводящие электроды являются плоскими и параллельными, то вновь следует использовать краевое условие Неймана.

Рис. 2.5. Один из вариантов линии передачи, иллюстрирующий дальнейшее применение однородных граничных условий Неймана.

2.5.3. Пара открытых линий

Конфигурация, показанная на рис. 2.6,а, представляет собой пару полосковых линий, разделенных диэлектрической пластиной.

Рис. 2.6 а) Параллельные полоски, разделенные диэлектрической пластиной. б) Введение произвольной ограничивающей поверхности.

Ясно, что никакой вычислительный процесс не дает возможности прямого решения этой задачи в бесконечном пространстве. Один из способов, часто используемый для преодоления подобных трудностей, состоит в окружении полосковой линии некоторой фиктивной «коробкой» с потенциалом Данный способ основан на том, что, если коробка удалена достаточно далеко от линии, она не может влиять на распределение поля вблизи линии. При этом функционал вычисляется по пространству, ограниченному коробкой. Ошибку, вызванную сведением поставленной задачи к задаче с конечным пространством, трудно оценить каким-либо способом, за исключением повторного решения задачи для

случая удаления границ коробки от линии на большее расстояние. В ряде ситуаций целесообразно положить

Однако возможен более тонкий подход, в котором коробка рассматривается как некая граница, за пределами которой детали распределения поля не представляют интереса. Обозначая внешнюю по отношению к коробке область буквой (см. рис. 2.6,б), представим выражение (2.76) в виде

Сосредоточим внимание на втором слагаемом правой части выражения (2.79), предусматривающем детальное знание поля. Преобразуем это слагаемое, пользуясь теоремой Грина, утверждающей, что

Здесь любая поверхность, охватывающая объем Полагая идентифицируя с двумерной областью с контуром получаем

Знак минус в соотношении (2.81) появляется потому, что обычно нормаль указывает направление из объема Здесь же сохранено направление вектора из объема й, так что теперь он становится направленным в объем совпадающий с внешним объемом Можно предположить, что постоянно в и пробная функция V такова, что во внешней области (более детальное знание V не требуется). В этом случае формула (2.79) принимает вид

Предположение о том, что не изменяется резко на контуре дает основание допустить, что нормальная производная потенциала непрерывна на Таким образом, функционал может быть вычислен с помощью формулы (2.82) последовательностью операций, которые не распространяются за пределы области Как мы уже говорили, функционал (2.79), (2.82) достигает экстремума при где V — решение уравнения (2.77). Поэтому функционал (2.82) можно использовать в схемах конечных элементов.

2.5.4. Задача для скалярного магнитного потенциала

Рассмотрим еще один пример, упомянутый в гл. 1. Это задача нахождения поля в пазе ротора электромотора (рис. 2.7), более полно изображенного на рис. 2.8. Обычно в пазе помещается проводник, по которому протекает электрический ток, однако в данном случае мы предполагаем, что в проводнике отсутствует ток и магнитные свойства паза, такие же, как и воздуха, т. е.

В магнитостатическом приближении интегральное уравнение Максвелла — Ампера (2.10) соответствует уравнению где магнитодвижущая сила создающая в магнитной цепи магнитный поток, пронизывающий -витковую катушку с током

Рис. 2.7. Зазор между ротором и статором электромотора.

Кроме того, аналогично электродвижущей силе создаваемой неоднородным распределением скалярного электрического потенциала в электрических цепях, связано с неоднородностью скалярного магнитного потенциала

При проектировании магнитных цепей основной целью зачастую оказывается задача минимизации магнитного сопротивления цепи. Этот параметр аналогичен электрическому сопротивлению и связывает приложенную с (измеряемую в ампер-витках) с магнитным потоком, который она создает. В первом приближении можно считать, что сталь в магнитной цепи обладает бесконечной магнитной проницаемостью. Следовательно, магнитное сопротивление, связанное с пазом, может быть рассчитано, исходя лишь из его геометрии, поскольку обусловленная ампер-витками катушки, приложена только к воздушному зазору.

Возвращаясь к нашей задаче, видим, что она в значительной степени напоминает только что рассмотренные случаи электростатики. Подстановка в областях воздушного зазора и проводника в уравнение (2.28) приводит к уравнению Таким образом, функционал, представляющий

магнитную энергию

достигает экстремума при Граничными условиями на магнитопроводящих поверхностях являются условия Дирихле а на плоскости симметрии и удаленной от нее плоскости где поле можно считать однородным, в качестве граничных условий следует использовать условия Неймана.

Рис. 2.8. Магнитная цепь простого электромотора.

2.5.5. Задача для векторного магнитного потенциала

В случае когда через проводник в пазе протекает электрический ток, использование скалярного магнитного потенциала оказывается невозможным и задачу следует решать с помощью векторного потенциала А.

Рассмотрим такую задачу для векторного потенциала, когда ток, протекающий по проводнику в пазе, направлен вдоль оси нормальной к плоскости рисунка 2.7:

Так как рассматриваемая система обладает трансляционной симметрией, то вектор должен иметь ту же форму, что и в данном случае

Если проницаемость кусочно-непрерывна, в области однородности можно использовать уравнение (2.49), которое при подстановке превращается в действительное скалярное уравнение

Хотя это уравнение и можно непосредственно применять к рассматриваемой задаче, поучительно, однако, вывести более общее уравнение, используя уравнение Максвелла

Подстановка в это уравнение выражения для магнитного поля

приводит к уравнению

пригодному и для неоднородных сред. Интересуясь трансляционно-симметричным двумерным случаем, когда векторный потенциал имеет вид (2.85), фигурирующие в уравнении (2.89) векторные величины представим в форме

Таким образом, уравнение (2.89) сводится к уравнению для скалярных величин

которое с точностью до обозначений совпадает с неоднородным уравнением Гельмгольца (2.34). Следовательно, для линейной среды в соответствии с (2.38), (2.92) получаем следующий функционал:

достигающий экстремума при (А является решением уравнения (2.92), удовлетворяющим граничным условиям).

2.5.6. Поле, создаваемое токонесущим проводником, находящимся в пазе ротора

Возвращаясь к простой схеме (рис. 2.7), можно на ее основе поставить задачу, дополнительную к рассмотренной в разд. 2.5.4. А именно, найти распределение поля, создаваемое током, протекающим в проводнике паза ротора, в случае отсутствия внешних полей. Вариационная задача определяется соотношением (2.93), и остается лишь сформулировать условия на границах применительно к заданной геометрии.

Поверхность является плоскостью симметрии, к которой вектор магнитного поля должен быть нормальным. Если предполагается, что сталь магнитопровода имеет бесконечную проницаемость то силовые линии поля должны выходить из него также нормально. В противном случае внутри магнитопровода было бы конечное тангенциальное поле

чтобы удовлетворить граничному условию непрерывности этой компоненты. Это привело бы к обращению в бесконечность магнитной индукции внутри магнитопровода. Поскольку и вектор магнитной индукции

нетрудно видеть, что если вектор магнитной индукции перпендикулярен какой-либо плоскости (так что ), то

В случае рассматриваемой здесь двумерной задачи можно наглядно показать, что А является постоянной величиной вдоль любой силовой линии магнитного поля. Так, изменение А при движении из точки в точку равно

Если смещение происходит вдоль линии потока, то должны быть пропорциональны соответствующим компонентам В в точке (т. е. ). Понятно, что в уравнении (2.95) обращается в нуль, так что А остается постоянным.

Таким образом, если может быть найдена плоскость, подобная (рис. 2.7), в которой магнитная индукция практически однородна, то ей может быть присвоено произвольное постоянное значение потенциала, в частности и все граничные условия наконец определены.

Решив обе задачи, поставленные в разд. 2.5.4 и 2.5.6, можно вследствие линейности задачи сложить соответствующие выражения для магнитных полей и получить полезную аппроксимацию для поля в зазоре между ротором и статором электромотора.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление