Главная > Разное > Метод конечных элементов для радиоинженеров и инженеров-электриков
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

2.4. Стационарные функционалы для полей

В некоторых случаях, особенно при исследованиях высокочастотных полей, полезно рассмотреть функционалы непосредственно от полей, а не от потенциалов. Типичным примером можег служить задача определения высокочастотных полей в резонаторе. Будем надеяться, что нам удастся найти функционалы, которые можно выразить через плотности электрической или магнитной энергий и соответственно. Рассмотрим линейные уравнения Максвелла в комплексной форме, в которых не учитывается ток

В этой комплексной системе уравнений также могут быть комплексными, допуская возможность учета тока определяемого законом Ома:

В этом легко убедиться, записав более общее уравнение Максвелла, в котором, в частности, учитывается ток, соответствующий (2.56)

Это уравнение можно записать в виде

где комплексная диэлектрическая проницаемость

является результатом учета тока.

Система уравнений (2.54), (2.55) может быть преобразована к виду, соответствующему исключению либо магнитного, либо электрического полей:

Таким образом, в зависимости от условий задачи можно решать уравнения либо для магнитного, либо электрического полей. Уравнения (2.60), (2.61) допускают рассмотрение случаев неоднородной среды, когда являются функциями координат.

Изучим сначала уравнение (2.60). Утверждается, что в этом случае функционал

достигает экстремума при где -решение уравнения (2.60), если пробные функции удовлетворяют определенным граничным условиям, которые будут определены ниже. Представим в виде суммы и некоторого вектора

Тогда линейное по слагаемое в выражении для т. е. первая вариация определяется формулой

Используя тождество для векторного произведения

и полагая получим

Соответственно выражение (2.64) принимает вид

Поскольку удовлетворяет уравнению (2.60), первое слагаемое в фигурных скобках в правой части этого выражения обращается в нуль при произвольных функциях А. Ко второму слагаемому в правой части (2.67) можно применить теорему Остроградского — Гаусса, в результате чего для первой вариации имеем

Используя уравнение (2.55), получаем для

С помощью правила циклической перестановки векторов в смешанном произведении можно преобразовать выражение (2.69) к виду

Ясно, что если тангенциальная компонента электрического поля отлична от нуля на поверхности то можно выбрать так, чтобы обращалось в нуль. Другая возможность заключается в том, что в соответствии с граничным условием на поверхности идеального проводника может обращаться в нуль тангенциальная компонента электрического поля. В этом случае в силу уравнения обращается в нуль при любых возмущениях k. Таким образом, при любом кусочном наложении на поверхности этих двух условий функционал будет стационарным.

На практике часто встречаются случаи, когда поперечное поле на апертуре является источником возбуждения поля во всем замкнутом объеме. Заметим, что, к счастью, нет необходимости знать нормальную компоненту поля на

апертуре, ибо рассматриваемое с точки зрения причины и следствия поперечное поле на апертуре является причиной, порождающей возникновение поля внутри объема и продольной компоненты поля на апертуре резонатора. Важно отметить, что для достижения стационарности функционала (2.62) не требуется накладывать никаких ограничений на пробную функцию на идеально проводящих границах. Здесь имеет место естественное краевое условие, аналогичное условию Неймана для скалярной функции. Аналогично требование соответствует условию Дирихле для скалярных функций.

В функционале (2.62) выражение равно где электрическое поле, выраженное через пробную функцию при помощи уравнения Максвелла (2.55). Поэтому следует ожидать, что имеется соответствующий стационарный функционал

Построенный аналогично (2.62), но выраженный через пробное электрическое поле. Если где решение уравнения (2.61), то ясно, что первая вариация сводится к поверхностному интегралу

Используя циклическую перестановку векторов, получим из (2.73) выражения

Как говорилось выше, в случае (2.69) обращалось в нуль при равной нулю тангенциальной компоненте электрического поля, как это реализуется на границе идеального проводника. Однако величина не обращается в нуль на границах идеального проводника, поэтому пробное поле следует выбрать таким, чтобы оно удовлетворяло граничным условиям. Следовательно, использование уравнений для полей или приводит к существенному различию в практических расчетах.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление