Главная > Разное > Метод конечных элементов для радиоинженеров и инженеров-электриков
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

2.3. Стационарные функционалы для потенциалов

В гл. 1 было показано, что энергия электрического поля, удовлетворяющего уравнению Лапласа, оказывается меньше, чем при всех других возможных распределениях поля, удовлетворяющих условиям Дирихле для данной задачи. Исходя из принципа минимума энергии, утверждалось, что функционал

в котором интегрирование производится по всей области определения решения двумерной задачи, должен быть наименьшим, когда и совпадает с решением уравнения Лапласа для потенциала. Этот вариационный принцип использовался для объединения кусочно-планарных функций двух пространственных переменных, которое при данной линейной аппроксимации определяло наилучшее приближение к точному решению. Такая процедура типична для решения задач электромагнетизма методом конечных элементов.

Оказывается, что для любого дифференциального уравнения в частных производных, описывающего электромагнитный процесс, возможно найти соответствующий функционал Этот функционал выражается либо через электрическое и магнитное поля, либо через потенциалы. Как правило, он обладает свойством стационарности для совокупности функций, удовлетворяющих заданным условиям на границах, включающей точное решение задачи.

Методы решения задач математической физики, в которых используются экстремальные свойства определенных функционалов, составляют предмет вариационного исчисления. Сведения о них можно найти во многих книгах, например Райли [2] или Морса и Фешбаха [3]. Излагаемые далее вариационные методы будут обсуждены применительно к конкретным задачам электромагнетизма.

2.3.1. Неоднородное уравнение Гельмгольца

Следуя методам, изложенным в гл. 1, рассмотрим уравнение, которое называется неоднородным уравнением Гельмгольца

В этом уравнении неизвестной величиной является скалярный потенциал и — некоторая функция координат и(х, Материальные свойства рассматриваемой среды определяются некоторой функцией . Величина не зависит от координат и может быть известной или определяться условиями задачи, заданная функция источника. На замкнутой поверхности заданы граничные условия: либо условия Дирихле, либо однородное условие Неймана, скажем на задается и (условие Дирихле), тогда как на задано (однородное условие Неймана). Здесь единичный вектор, нормальный к поверхности

Приведенная постановка задачи является довольно формальной. Она, однако, оправдывается тем, что общие уравнения, подобные (2.34), можно использовать для численного решения на ЭВМ целого ряда различных физических задач. Одним из важных качеств современного инженера является

умение приспосабливать конкретные задачи к подобным универсальным программам, входящим в библиотеки программ для ЭВМ.

Приведем некоторые примеры частных случаев уравнения (2.34), встречающихся на практике.

1. Уравнение Лапласа

описывает задачу электростатики, рассмотренную в гл. 1, и получается из уравнения (2.20) в случае установившегося состояния и отсутствия зарядов. В качестве граничных условий будут использоваться условия типа Дирихле (на граничных поверхностях устанавливается потенциал и).

2. Уравнение Пуассона

моделирует более сложную задачу для потенциала, когда диэлектрическая проницаемость может быть произвольной функцией координат. Заданное пространственное распределение заряда видоизменяет распределение потенциала, которое имело бы место для простого случая, описываемого уравнением Лапласа (2.35). На границе снова будут, как правило, использоваться условия Дирихле.

3. Двумерное уравнение Гельмгольца

моделирует поведение поперечно-электрических волн в волноводах. Формулировка волноводной задачи подробно обсуждается в разд. 2.7. Отметим лишь, что поперечная часть оператора Лапласа

в декартовой (прямоугольной) системе координат, критическое волновое число, определяемое заданными краевыми условиями на границе. Краевые условия соответствуют однородному условию Неймана на поверхности волновода.

2.3.2. Функционал для уравнения Гельмгольца

Возвращаясь к уравнению (2.34), попробуем найти ответ на вопрос, может ли быть найден функционал обладающий требуемыми стационарными свойствами при заданных краевых условиях. Разумеется, отыскание такого функционала тесно связано с испочьзованнем экстремальных свойств точного решения при аппроксимациях конечными

элементами, как это было сделано на простых примерах в гл. 1.

Покажем, что выражение

где интегрирование производится по всему пространству задачи, определяет требуемый функционал при условии, что функции удовлетворяют граничным условиям Дирихле задано на части замкнутой граничной поверхности

Необходимо отметить, что однородные условия Неймана не налагают каких-либо ограничений на Оказывается (и это важно), что никаких подобных ограничений не требуется. В вариационном анализе это типичная ситуация. Для того чтобы данный функционал достигал экстремальных значений для точного решения и, на пробные функции должны быть наложены некоторые краевые условия, подобные использованному здесь ограничению Дирихле. Такое ограничение называется главным краевым условием. С другой стороны, однородное условие Неймана играет роль естественного краевого условия. Функции, удовлетворяющие требованию экстремальности автоматически удовлетворяют и однородному условию Неймана на

Для доказательства этого утверждения подставим в функционал (2.38) функцию

где точное решение уравнения (2.34) с граничными условиями Дирихле на число, изменяющееся от малого отрицательного значения до малого положительного значения, произвольная функция, единственным ограничением для которой является требование обращения в нуль на поверхности Другими словами, функция должна быть ограничена классом допустимых функций, удовлетворяющих краевому условию задачи Дирихле. Иллюстрация этого случая для одномерной задачи приведена на рис. 2.3.

Исследуем поведение функционала (2.38), когда вместо истинного решения уравнения (2.34) в него подставляется функция и Имеем

Следовательно,

Очевидно, что функционал (2.38) достигает экстремального значения при совпадении с точным решением, если интеграл в правой части выражения (2.43), который умножается на , обращается в нуль.

Рис. 2.3. а) Пробная функция варьируемая относительно истинного решения и и подчиненная граничным условиям Дирихле при и однородным условиям Неймана при Соответствующая произвольная функция не ограниченная в точке Зависимость функционала от параметра

Поэтому рассмотрим так называемую первую вариацию функционала

Вследствие теоремы Остроградского — Гаусса для любой векторной функции А справедливо соотношение

так что

Отсюда получаем выражение

которое можно использовать для преобразования подынтегрального выражения в формуле (2.44). Для первой вариации получаем:

Второе слагаемое правой части этого выражения содержит множитель который равен нулю во всех точках объема поскольку по определению и является решением уравнения (2.34).

Таким образом, несмотря на то что -произвольная функция в пределах объемный интеграл в правой части выражения (2.48) тождественно равен нулю вследствие равенства нулю подынтегрального выражения в каждой точке области

Теперь рассмотрим первый член в правой части (2.48). Это интеграл по замкнутой поверхности включающей Вариация была ограничена функциями, которые удовлетворяют главному краевому условию (условию Дирихле). Иными словами, функция равна нулю везде на поверхности Нетрудно также видеть, что множитель пропорционален на поверхности и эта величина равна нулю на по определению.

Таким образом, показано, что первая вариация функционала (2.38) равна нулю. Следовательно, функционал достигает экстремума для истинного решения неоднородного уравнения Гельмгольца (2.34) при заданных краевых условиях и любых возмущениях, удовлетворяющих краевым условиям Дирихле для рассматриваемой задачи. Однородное краевое условие Неймана является естественным краевым условием, которое не должно налагаться на пробную функцию.

После построения требуемого функционала область определения решения разбивается на элементы и в качестве приближения к точному решению принимается кусочно-планарная функция. Такая функция сама по себе никогда не может представить истинное решение, по крайней мере когда кусочные элементы имеют конечные размеры. Однако аппроксимация производится таким образом, чтобы обеспечить экстремум функционала Очевидно, что экстремальное значение отличающееся теперь от значения слагаемым, пропорциональным 92, является намного более точной оценкой чем потенциал и оценкой . Функционал

часто связан с такими параметрами, как, например, энергия, которые и необходимо определять инженеру. Именно здесь проявляются преимущества вариационного подхода.

2.3.3. Функционалы для уравнений с другими потенциалами

Уравнение (2.34) охватывает большое число практических ситуаций, но область его применения ограничена скалярной переменной и линейной системой. Оказывается, что функционалы для векторных и нелинейных аналогов этого уравнения незначительно отличаются от уже полученных выражений В, качестве примера рассмотрим волновое уравнение (2.21) для А в комплексной форме для случая синусоидальных колебаний с частотой :

Это уравнение можно рассматривать как три скалярных уравнения вида (2.34), в которых и отождествляется с одной из компонент векторного потенциала, скажем Тогда мы могли бы ожидать, что сможем применить результаты, полученные для скалярного неоднородного уравнения Гельмгольца, непосредственной подстановкой Однако здесь необходима осторожность, так как воздействие оператора Лапласа на векторную переменную имеет некоторые особенности. Если в некоторой криволинейной системе координат —компонента вектора направленная вдоль одной из осей координат, выражения вообще говоря, не совпадают, поскольку в первом из них оператор А действует также и на единичный вектор который может сильно изменяться по направлению с изменением пространственных координат. Типичный пример этого имеет место в цилиндрических полярных координатах где единичные векторы являются функциями Однако единичный вектор в этой системе координат является постоянным, поэтому совпадают.

Конечно, подобных проблем в прямоугольной декартовой системе координат вообще не возникает. Что касается цилиндрической системы координат, то действие оператора Лапласа на вектор в этой системе координат следует представить в виде

где предусматривается, что оператор

действует только на скалярные величины.

Выражение в функционале (2.38) часто соответствует плотности энергии. Например, в простом электростатическом случае (уравнение (2.36)) коэффициент равен диэлектрической проницаемости совпадает с вектором электрического поля Для плотности энергии электрического поля в этом случае имеем выражение

Если среда, в которой действует электрическое поле, нелинейна, так что является функцией то можно показать, что плотность энергии в этом случае равна

Обычно предполагают, что если слагаемое в функционале, характеризующее плотность энергии в уравнении (2.38), определено для линейной задачи, то его замена нелинейным эквивалентом будет давать правильный функционал для нелинейного варианта этой задачи.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление