Главная > Разное > Метод конечных элементов для радиоинженеров и инженеров-электриков
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

2.2. Уравнения для потенциалов

Во многих случаях имеют место значительные упрощения как понятийного характера, так и в расчетах, если поля представляются функциями потенциалов. Хорошо известно, что статическое электрическое поле представляется функцией скалярного потенциала

где потенциал V в свободных от зарядов областях должен удовлетворять уравнению Лапласа

Это лишь один из возможных вариантов; ниже обсуждается общий случай.

В теории векторного исчисления доказывается, что ротор градиента любой скалярной функции и дивергенция ротора любой векторной функции равняются нулю. Поэтому легко проверить, что выражения

определяют через скалярный V и векторный А потенциалы, которые автоматически удовлетворяют двум из четырех уравнений Максвелла, а именно уравнениям (2.1) и (2.4).

Очевидно, здесь имеется некоторый элемент произвола в представлении так как добавление к А градиента любой скалярной функции координат не влияет на соотношение (2.18). Детальное исследование показывает, что вследствие отмеченного произвола может быть определена по

желанию. Обычно предполагается, что выполняются условия Лоренца

Могут быть выбраны и другие условия, например условие Кулона Однако условие Лоренца обладает тем достоинством, что оно ведет к простой и симметричной системе уравнений, когда оставшаяся пара уравнений Максвелла (2.2) и (2.3) также записывается через потенциалы В случае линейной однородной среды эти уравнения принимают вид

2.2.1. Решения для запаздывающих потенциалов

В уравнениях (2.20) и (2.21) легко узнать волновые уравнения, которые являются обобщениями уравнения Пуассона с источниками в виде заряда и тока соответственно. Нетрудно показать, что вклады в величины от элемента объема можно записать в виде так называемых запаздывающих потенциалов

Рис. 2.2. Геометрия и обозначения, используемые при формулировке закона Био - Савара (формула (2.25)).

Здесь величина радиус-вектора из точки в которой определяется потенциал, до рассматриваемого элемента объема. Квадратные скобки означают, что должны быть определены во времени на раньше, чем то время, когда вычисляются Запаздывание соответствует времени, необходимому для передачи электромагнитного возмущения от источника к точке

Отметим, что в статических ситуациях потенциалы не связаны. Уравнения (2.17) — (2.21) определяют поля которые теперь являются полностью независимыми. Соотношения (2.22) и (2.23) соответствуют в этом случае законам

Кулона и Био-Савара

Геометрия для данного случая представлена на рис. 2.2. Формулы (2.24), (2.25) пригодны и в так называемом квазистатическом приближении, когда частота невелика и можно пренебречь током смещения, а также временем запаздывания.

2.2.2. Скалярный магнитный потенциал

Другим полезным представлением потенциала является соответствующее уравнению (2.15) выражение для магнитного поля:

Здесь скалярный магнитный потенциал. Поскольку ротор градиента любой скалярной величины равен нулю, из уравнения (2.26) получаем Из уравнения Максвелла (2.2) при этом следует, что

Ясно, что представление магнитного поля в виде градиента скалярного потенциала справедливо только в области, свободной от токов, и при достаточно низких частотах, когда можно пренебречь током смещения. Такая аппроксимация часто оказывается очень полезной.

Основное уравнение, определяющее скалярный магнитный потенциал, выводится из уравнения (2.4), определяющего соленоидальность вектора магнитной индукции В:

2.2.3. Граничные условия для потенциалов

В этой книге мы будем иметь дело с поведением полей в подобластях, «конечных элементах», примыкающих к другим подобным областям. Иногда будет встречаться резкое (скачкообразное) изменение свойств материалов при переходе от одного элемента к другому. Правила поведения электрического и магнитного полей на таких границах, являющиеся следствиями уравнений Максвелла, были приведены выше. Теперь необходимо установить соответствующие правила для потенциалов

Обычно V и компоненты А будут считаться непрерывными на таких границах. Из фундаментальных соотношений (2.17) и (2.18), определяющих поля через потенциалы, видно, что это условие является достаточным, чтобы гарантировать непрерывность тангенциальной компоненты поля и нормальной компоненты поля В, как требуют граничные условия.

Также ясно, что если имеют место скачки ни то будут возникать разрывы нормальных производных Это является следствием граничных условий для нормальной компоненты и тангенциальной компоненты например условий непрерывности в случае отсутствия поверхностных токов и зарядов.

Когда будут рассматриваться «конечные элементы» и решаться задача нахождения поля для объединенного ансамбля элементов, условия непрерывности на границах между элементами будут использованы в качестве условий для пробных функций. И это будет делаться до того, как будут наложены любые другие ограничения.

Возникает вопрос: необходимо ли принимать какие-либо дальнейшие меры по отношению к пространственным производным от чтобы выполнялись граничные условия при построении пробных функций для потенциалов? Оказывается, что на пробные функции всегда накладываются ограничения, если функции выбраны таким образом, что везде в пределах отдельных элементов, включая их границы, аппроксимируются уравнения Максвелла или их вариационные эквиваленты. И поскольку сами граничные условия являются всецело следствиями уравненией Максвелла, то требуемое поведение нормальных производных на границах получается автоматически. Оно будет выполнено с тем же порядком точности, который достигается для полей в объеме.

2.2.4. Физические интерпретации

Физическая интерпретация скалярного потенциала в статических случаях хорошо известна и проста. Проводники всегда имеют постоянный потенциал, а разность потенциалов между любыми двумя проводниками сответствует приложенному напряжению. Потенциал V всегда определен лишь с точностью до постоянной. Неопределенность устраняется выбором некоторой точки, где потенциал полагают равным нулю.

Перемещение заряда из точки с потенциалом в точку с потенциалом требует расхода энергии независимо от пути между Эквипотенциальные поверхности образуют ортогональную систему с силовыми линиями электрической индукции. Аналогичными свойствами обладает и магнитный скалярный потенциал.

Интерпретация потенциалов в случае изменяющихся во времени полей не является столь простой. Для истолкования V в случае переменных полей заметим, что работа, выполненная при перемещении заряда из определяется выражением

из которого следует формула

Таким образом, наличие второго слагаемого в правой части выражения (2.30) приводит к зависимости от пути интегрирования. Однако вклад от потенциала V имеет консервативный характер.

Полезные свойства векторного потенциала А можно получить, если применить формулу Стокса (см., например, Рамо, Уиннери и ван Дьюзер, [1]) к уравнению, определяющему магнитный поток через поверхность

При этом уравнение (2.31) преобразуется к виду

где С — замкнутый контур, ограничивающий данную поверхность Таким образом, интеграл от А по замкнутому контуру равен магнитному потоку, пронизывающему этот контур.

Одно из свойств вектора А можно получить из формулы (2.23). Она показывает, что вклад элемента тока в векторный потенциал имеет то же направление, что и плотность тока Поэтому для многих задач с симметричной геометрией векторный потенциал имеет лишь одну отличную от нуля компоненту.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление