Главная > Разное > Метод конечных элементов для радиоинженеров и инженеров-электриков
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Глава 2. Представление электромагнитных полей

2.1. Уравнения Максвелла

Задачи электромагнетизма занимают в некотором смысле привилегированное положение в технике и физике, так как поведение электромагнитного поля подчиняется законам, которые могут быть выражены очень кратко уравнениями, связанными с именем Дж. К. Максвелла.

К числу основных переменных, входящих в уравнения Максвелла, относятся следующие пять векторов и один скаляр:

напряженность электрического поля

напряженность магнитного поля

электрическая индукция ,

магнитная индукция

плотность электрического тока

плотность электрического заряда

Уравнения Максвелла могут быть представлены в дифференциальной форме

К этим дифференциальным соотношениям добавляются материальные уравнения

соответствующие пренебрежению пространственной и временной дисперсией, анизотропией и характеризующие макроскопические свойства среды посредством диэлектрической проницаемости 8, магнитной проницаемости и удельной проводимости а. Величины и о не обязательно являются константами; так, например, в случае ферромагнитных материалов зависимость В от может быть в высшей степени

нелинейной (см. гл. 5). Более того, в анизотропных средах, в которых векторы индукции отличаются по направлениям от соответствующих напряженностей полей, величины должны иметь размерность тензоров 2-го ранга.

Для свободного пространства при использовании единиц

Данное значение отражает тот фундаментальный факт, что диэлектрическая и магнитная проницаемости в вакууме связаны соотношением

со скоростью света с в вакууме. Наряду с величиной, определяемой соотношением (2.7), ток может содержать составляющую, связанную с движением внешних зарядов (внешний ток).

К уравнениям (2.1) — (2.4) следует добавить соотношение, выражающее закон сохранения заряда

Это уравнение непрерывности следует из уравнений (2.2), (2.3), в чем можно убедиться, применяя операцию дивергенции к уравнению (2.2) и подставляя в него выражение (2.3) для В случае постоянного тока уравнение (2.8) принимает вид: Это соотношение является зачастую удовлетворительной аппроксимацией и для переменных полей в хороших проводниках. Значительный изменяющийся во времени ток можно объяснить высокой плотностью дрейфующих электронов, нейтрализуемых неподвижными ионами, расположенными в решетке проводника.

2.1.1. Интегральные соотношения

Существует математически эквивалентная интегральная форма уравнений Максвелла (2.1) — (2.4). Рассмотрим замкнутый контур С, на который натянута поверхность (рис. 2.1). Интегрируя по поверхности уравнения (2.1), (2.2) и воспользовавшись формулой Стокса, представим первые два уравнения Максвелла в виде

Здесь вектор нормали к поверхности, I — единичный вектор, касательный к контуру С.

Уравнения (2.9), (2.10) соответствуют закону Фарадея и закону Ампера с добавкой к последнему вклада от максвеллова тока смещения.

Интегрируя уравнения (2.3), (2.4) по произвольной замкнутой поверхности получаем с помощью формулы Остроградского — Гаусса

Рис. 2.1. Контур С и «натянутая» на этот контур поверхность

Эти уравнения утверждают, что интеграл от магнитной индукции В по любой замкнутой поверхности равен нулю, тогда как соответствующий интеграл от равен полному заряду в объеме охватываемом поверхностью

2.1.2. Запись в комплексной форме

Во многих задачах изучаются установившиеся состояния, возникающие при периодическом воздестствии на данную систему. В таких случаях переменные величины удобно представлять в комплексной форме. При этом все переменные величины представляются комплексными величинами.

Например, комплексная амплитуда электрического поля имеет вид: Соответствующее физическое, изменяющееся во времени поле равно вещественной части величины где со — угловая частота синусоидального возбуждения. Таким образом, частное дифференцирование по времени приводит к умножению на величины Будем интересоваться лишь слагаемыми, пропорциональными -Ксо). При этом оператор дифференцирования может быть заменен коэффициентом Например, уравнение (2.1) приводится к виду

Выбором начала отсчета времени можно добиться того, чтобы в любой из точек по крайней мере одна из компонент оказалась чисто вещественной величиной; пусть этой компонентой будет Соответственно физическая, изменяющаяся во времени компонента поля равна В любом другом месте будет иметь в общем случае комплексное значение,

соответствующее некоторому фазовому сдвигу так что для компоненты получаем

В данной точке физическое поле равно Эта методика анализа полей является развитием комплексного анализа одномерных цепей.

2.1.3. Граничные условия

Законы, устанавливающие поведение полей на границах, где резко изменяются свойства среды, вытекают из требования, чтобы на поверхностях и контурах, охватывающих границы, были справедливыми уравнения Максвелла в инте: тральной форме.

Доказательства того, что уравнения (2.9) — (2.12) приводят к ряду условий на поверхностях раздела сред, относятся к числу стандартных упражнений в теории электромагнетизма. Эти условия следующие:

1) Тангенциальная компонента поля непрерывна.

2) Тангенциальная компонента поля разрывна; величина скачка равна плотности поверхностного тока

3) Нормальная компонента вектора магнитной индукции В непрерывна.

4) Нормальная компонента вектора электрической индукции терпит разрыв; при этом величина скачка равна плотности поверхностного заряда.

Поверхностные ток и заряд могут возникать лишь тогда, когда один из материалов является хорошим проводником.

При высоких частотах имеет место известный поверхностный эффект, согласно которому ток протекает главным образом вблизи поверхности проводника. Так называемая глубина скин-эффекта в обычных проводниках часто является очень малой, поэтому с достаточной точностью можно рассматривать это явление как чисто поверхностное.

Таким образом, известные правила поведения переменных электромагнитных полей на границах «хороших» проводников аппроксимируются условиями на границах «идеальных» проводников. Переменное электромагнитное поле не проникает внутрь проводника, поэтому должны выполняться следующие граничные условия:

1) Электрическое поле на поверхности проводника нормально к поверхности и поддерживается поверхностным зарядом

2) Магнитное поле на поверхности проводника тангенциально к поверхности и поддерживается поверхностным током

2.1.4. Причина и следствие

Зачастую бывает нелегко различить причину и следствие электромагнитных явлений в рамках уравнений Максвелла, которые, как было сказано, должны давать полное описание электромагнитных явлений.

Конечно, нетрудно увидеть, что если везде задан переменный ток то может быть полностью определено и поле. Однако это лишь одна из возможных, особенно простая ситуация. Другие «причины» электромагнитных явлений часто связаны с наложением условий на границах. Примером может служить приложение напряжения к системе электродов. Подобные случаи будут обсуждаться в книге по мере рассмотрения соответствующих задач.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление