Главная > Разное > Метод конечных элементов для радиоинженеров и инженеров-электриков
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

1.9. Программирование и структура данных

Основное достоинство метода конечных элементов даже при использовании треугольных элементов первого порядка заключается в присущей ему значительной «геометрической» гибкости. В отличие от многих других численных методов применимость метода конечных элементов существенно меньше зависит от геометрических форм, с которыми приходится иметь дело. Например, используя треугольные элементы, можно удовлетворительно представить любую двумерную область, границы которой могут быть аппроксимированы рядом прямолинейных отрезков. Необходимо также отметить, что сетка из треугольных элементов, с помощью которой моделируется внутренняя область задачи, не является регулярной ни геометрически, ни топологически. Это значит, что размеры и формы треугольников могут изменяться произвольно, а их взаимные соединения не обязательно должны следовать какой-либо регулярной структуре.

Приближенное решение данной физической задачи методом конечных элементов можно разделить на пять отдельных этапов:

1) построение сетки из конечных элементов, т. е. разбиение области определения решения на элементы;

2) выявление источников и граничных значений величин задачи;

3) построение матричного представления для каждого элемента;

4) объединение всех элементов в ансамбль путем матричных преобразований, аналогичных (1.26), и наложение граничных условий;

5) решение результирующей системы алгебраических уоавнений;

6) вывод и оценка результатов.

В сущности на первом этапе геометрически и математически сложная граничная задача описывается для разъединенного набора элементов. Все последующие этапы служат для соединения этих элементов некоторым определенным способом с тем, чтобы получить желаемый результат. Три средних этапа включают в себя вычислительную работу повторяющегося и систематического характера, поэтому являются идеально подходящими для цифровых ЭВМ. Матричное представление каждого треугольного элемента может быть получено при условии, что известны только расположения вершин этого треугольника без какого-либо учета структуры разбиения. И наоборот, объединение и наложение граничных условий требуют только знания топологии сетки, т. е. способа соединения треугольников между собой.

Для объединения матриц отдельных элементов в одну глобальную матрицу необходимо, чтобы было выполнено преобразование связи (1.22), (1.23). Вся требуемая топологическая информация содержится в матрице связи С. Однако было бы в высшей степени неэффективно хранить матрицу связи в явной форме (уравнение (1.24)), а разъединенные глобальные матрицы — в виде (1.21), так как в обоих случаях матрицы имеют своеобразную структуру и содержат высокий процент нулевых элементов. Ключ к эффективному объединению дается выражением (1.27). Оно может быть переписано в виде

который наводит на мысль, что в общем случае объединенная -матрица может быть получена вычислением матрицы каждого отдельного элемента с последующим добавлением девяти ненулевых матричных вкладов, обусловленных этим элементом, к соответствующим элементам глобальной -матрицы. Этот подход в свою очередь предполагает очень компактный и удобный метод хранения топологической информации, содержащейся в матрице С, с помощью массива, который определяет вершины каждого треугольника через их глобальные узловые номера.

В качестве примера рассмотрим очень простое сеточное представление (рис. 1.7) для задачи определения поля проводника в пазе; треугольников, которые представляют область определения решения, могут быть описаны массивом дающим номера узлов, и массивом данных о

плотности источников в элементах. Эти массивы могут считываться с входных устройств (считывателя перфокарт, терминала и т. д.). В случае одного элемента на входную линию исходные данные для этой задачи получаются следующими:

Рис. 1.7. Очень простая модель паза в роторе, иллюстрирующая методику представления данных.

Объединение треугольников осуществляется путем обнуления матрицы формирования матрицы элемента для треугольника (1, 2, 3), добавления к полученных таким образом девяти чисел. Затем вычисляется матрица элемента для треугольника (2,4,3), добавляется к до тех пор, пока не будет составлена полная матрица Вычисление матричного представления для каждого отдельного элемента требует знания координат его вершин. Для этой цели необходимо иметь массивы содержащие координаты

Наконец, должны быть введены граничные условия. Для этой цели достаточно указать номера граничных точек и соответствующие им граничные значения, например:

Результирующая программа, составленная на языке Фортран, приводится ниже в разд. 1.10. Следует отметить, что

собственно программа не содержит никакой специфической информации о частной решаемой задаче. Вся геометрическая, топологическая и другая зависящая от задачи информация размещается в массивах исходных данных, которые подготавливаются отдельно и считываются, когда это необходимо. Поэтому, используя одну и ту же программу, можно решить совершенно отличную от этой задачу для уравнения Пуассона, если снабдить программу другим файлом исходных данных.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление