Главная > Математика > Метод граничных элементов в прикладных науках
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

9.6. Решение уравнений прямого и непрямого МГЭ

9.6.1. Решение при помощи преобразования Лапласа

Наиболее мощные аналитические методы решения уравнения диффузии (а также и других классов задач, в которых появляются интегралы типа свертки, в частности задач вязкоупругости; см. гл. 10) основаны на применении преобразования Лапласа по времени [1,13]. Некоторые авторы, главным образом Риццо и Шиппи [5, 9], предложили использовать эту технику совместно с хотя мы считаем, что вряд ли это приводит к сколько-нибудь существенному преимуществу по сравнению с иными численными процедурами, на главных особенностях этого метода стоит остановиться.

Основная привлекательная его особенность состоит в том, что после выполнения преобразования по времени размерность дифференциального оператора уменьшается на единицу и параболическое уравнение переходит в эквивалентное эллиптическое. Мы уже убедились в чрезвычайной эффективности МГЭ применительно к решению эллиптических (стационарных) задач, и поэтому целесообразно выяснить, имеются или нет преимущества в комбинировании МГЭ с преобразованием Лапласа.

Метод решения состоит из следующих основных этапов.

1. Преобразование по Лапласу функции результат которого затем обозначается через

Уравнение диффузии (9.2) и граничные условия (9.5) в результате преобразования переходят (при нулевых начальных условиях) в

и

Можно показать, что вычисление преобразования связано с серьезными трудностями, и поэтому Риццо и Шиппи ограничились случаем

2. Построение фундаментального решения уравнения (9.20а); так как, очевидно, где определено формулой (9.7), то

где модифицированная функция Бесселя второго рода нулевого порядка.

3. Решение задачи относительно в области V, что достигается применением ПМГЭ к уравнению (9.20а) с использованием (и соответственно а именно

Главная трудность состоит в вычислении по (т. е. в получении обратного преобразования функции Для этого, однако, до сих пор не существует универсального численного метода; в тех же, которые используются в настоящее время, требуется сначала найти для некоторой последовательности действительных значений параметра и только после этого по таким образом полученной последовательности значений можно вычислить [5]. Так как вид преобразованных ядер становится более сложным, а вообще исключается из задачи, то более многообещающим кажется использование соотношений МГЭ (соотношений (9.11), (9.12) и (9.16)-(9.18)) одновременно с пошаговой процедурой увеличения времени (а не параметра s).

9.6.2. Пошаговые процессы изменения времени

Суть подобных процессов состоит в последовательном увеличении времени «шагами» на величину приращения от до заданного значения за N таких шагов. При этом немедленно возникает следующий основной вопрос: существуют ли ограничения на величину поскольку с точки зрения вычислительной эффективности несколько крупных шагов могут быть более предпочтительными, чем большое число мелких?

Опубликованные результаты, касающиеся допустимых значений приращения (безразмерного времени) связаны главным образом с методами конечных разностей (очень хороший обзор основных проблем сделан Кренделлом [14]) и методами конечных элементов, для которых Смит [15] получил очень интересные результаты об использовании аппроксимаций более высокого порядка при экспоненциальном изменении со временем, позволяющих проводить расчеты с более крупными шагами. При использовании схем с дискретизацией всей области в сочетании с обычной явной разностной схемой по времени сходимость гарантируется, если отношение не превышает 1/2, где пространственный шаг сетки или размер элементов [28]. Так, в типичном случае, скажем, следовательно, Хотя, как упоминалось выше, применительно к МГЭ эти вопросы не являются столь же детально изученными, Томлин [2], например, успешно применял

подобную пошаговую схему с для прямоугольной области и для полого цилиндра (см. ниже в разд. 9.8 примеры 1 и 2), а использовал при изучении процесса нестационарного охлаждения плоской области.

Анализ уравнений (9.12) и (9.18) в то же время показывает, что соотношения МГЭ являются неявными по" времени (т. е. различные величины в момент времени выражаются через интегралы по границе, содержащие как известные, так и неизвестные граничные значения переменных и заданные вплоть до момента времени интенсивности внутренних источников). Поэтому, если в дискретизированной системе не вводится грубых аппроксимаций в области изменения времени, то критерий, гарантирующий устойчивость, должен быть менее ограничительным, чем указанный выше.

В основном используются два различных пошаговых процесса изменения времени, оба приводящие к системам уравнений относительно мгновенных значений переменных в пространстве, но в последовательные моменты времени.

Метод 1. В установленных выше соотношениях прямого и непрямого методов временная переменная трактуется фактически точно так же, как и пространственные. Поэтому плоскую задачу диффузии в соответствии с рис. 9.1 можно рассматривать как «трехмерную», где третьей пространственной переменной является время, и строить решение ее непосредственно в момент времени «Границы», образованные прямыми, параллельными оси времени, можно разбить на элементы, размеры которых, вероятно, могут увеличиваться со временем (например, логарифмически [17]) по мере приближения к стационарному решению. Основная идея метода граничных элементов сводится к полной дискретизации пространственных и временных границ (рис. 9.1) и определению всех неизвестных величин на границе, по которой могут быть вычислены любые

Рис. 9.3. Определение областей и граничных условий «в одномерном» случае.

значения и других переменных с учетом того, что источники, введенные при не оказывают обратного влияния при

Все основные особенности этого алгоритма мы продемонстрируем на примере решения общей одномерной задачи при помощи ПМГЭ. Рассмотрим плоскость на рис. 9.3 и однородную одномерную область, простирающуюся от до с заданным вдоль нее начальным распределением потенциала . Другими границами в нашей задаче являются прямые, параллельные оси времени, вдоль которых мы можем считать заданными, например, постоянные значения потенциала При этом мы немедленно придем к выводу, что в результате оба граничных потока будут неизвестными функциями времени. По аналогии с уравнением (2.24) соотношение (9.11) ПМГЭ будет теперь иметь вид (заметим, что в одномерном случае

где в соответствии с (9.7) и (9.8)

Так как и -константы, свертки можно вычислить аналитически. Имеем

где функция ошибок, определяемая как

Если бы вместо было задано то свертки типа их также можно было бы вычислить аналитически:

Рассмотрим для простоты случай когда

последний член в (9.22) с учетом выражения для из (9.23) принимает вид

Тогда, устремляя в (9.22), (9.23а), поочередно к границам получаем

где и в силу симметричности они совпадают с соответственно.

Теперь мы можем отметить одно существенное обстоятельство: хотя формула (9.25) (включая и коэффициенты 1/2 при аналогична соответствующей формуле для стационарной задачи, произведения являются свертками. Следовательно, мы должны, как и следовало ожидать, провести дискретизацию оси времени таким образом, чтобы каждый из членов типа и выражался, скажем, через дискретных значений обеих функций на интересующем нас временном интервале

На шаге по времени члены типа и можно записать в виде

где первый интеграл в правой части содержит известную информацию о решении за предыдущие шагов по времени. Поэтому, если мы предположим, что остаются постоянными в течение интервала соответствующего шагу по времени, то урав нения (9.25) перейдут в следующие:

Теперь уравнения (9.27) можно разрешить относительно значений в момент времени так как их правые части содержат лишь известные величины. Важно отметить также, что при наличии решения на шаге по времени для получения решения на шаге к правой части (9.27) требуется просто добавить новые члены, содержащие свертки и по временным интерватам соответственно.

Описанный выше процесс пошагового изменения времени, предложенный Шоу [16] и другими авторами, является, вероятно, наиболее эффективным при использовании как прямого, так и непрямого МГЭ. Однако для связанных задач диффузии и теории упругости, относящихся, например, к нестационарным теориям термоупругости и консолидации, описанная выше процедура не является достаточно общей и предпочтительнее оказывается метод, излагаемый ниже.

Метод 2. В гл. 12 будет показано, что наличие нелинейностей в исходном дифференциальном уравнении при формулировке МГЭ можно преодолеть посредством модификации члена в уравнении (9.11), отвечающего действию внутренних источников. Таким образом, в самом общем алгоритме решения задач диффузии, учитывающем возможность изменения со временем и граничных условий, и интенсивностей внутренних источников, которые к тому же определяются только в результате решения связанных систем дифференциальных уравнений (как в теории консолидации или термоупругости), удобнее следующий процесс пошагового изменения времени.

Для простоты представления их значения будут считаться постоянными на любом временном шаге будет заменяться своими средними значениями на каждом шаге. Значения на произвольном граничном элементе могут быть представлены в виде где изопараметрические базисные функции, арии — векторы узловых значений Естественно, что на элементах вдоль оси времени также можно было бы ввести некоторые базисные функции. Однако, насколько нам известно, этого еще никто не делал, хотя работа Смита [15], касающаяся аппроксимаций Паде и Нёрсетта экспоненциальных функций, нашла бы здесь свое применение [26].

В соответствии с изложенным выше запишем соотношение (9.12) для граничного узла на гладкой части границы:

где

причем базисная функция для 1-я ячейки. В силу предположений о постоянстве на слагаемые первой суммы в правой части уравнения (9.28) могут быть вычислены при помощи соотношений (9.23 а, б). Если дополнительно предположить постоянство на то элементы матриц и будут соответствовать функциям влияния для линейного источника, заданного на [2]. Аналогично в случае плоского тела, разделенного на треугольные ячейки, элементы матриц могут быть вычислены аналитически [2]. Все эти результаты собраны в § 9.7.

Записывая соотношение (9.28) для каждого граничного узла и выбранного момента времени и включая члены в диагональные элементы матрицы мы получим следующее матричное уравнение, например, при

Непрямой метод. В непрямом методе мы будем считать, что изменяется линейно вдоль граничных элементов, т. е.

где у — узловые значения а также будем использовать, как и раньше, линейно меняющиеся функции

Подстановка в соотношения (9.17) и (9.18) для граничного элемента дает

и

где

Мы можем выбрать из (9.31) и (9.32) уравнения, отвечающие граничным условиям, заданным в каждой узловой точке границы; в результате получим следующую систему:

или

Как обычно, правые части уравнений (9.30) известны вместе с половиной граничных значений при Решение этих уравнений позволяет получить отсутствующие граничные значения, которые затем могут быть использованы в матричном эквиваленте соотношения (9.11) для вычисления в достаточном Числе узлов, чтобы определить Функция должна быть известна, и, следовательно, эти значения могут быть снова подставлены в (9.30) для определения (используя лишь операции матричного умножения) не заданных на границе величин при Повторяя этот процесс (для ПМГЭ или НМГЭ), мы получаем минимальный набор значений до момента времени, скажем и (если потребуется) очень детальную информацию при Таким образом, плоскость на рис. 9.3 последовательно «покрывается» решениями [27].

Рис. 9.4. (см. скан) а — схема дискретизации для плоских задач диффузии; б - временная последовательность введения фиктивных источников.

Главная трудность применения всех пошаговых методов этого типа заключается в том, что решения, получаемые для первых временных шагов, как правило, имеют погрешность примерно (см. ниже), если начальные временные интервалы не являются очень малыми. Это связано частично с использованием

аппроксимации правыми разностями, например номинальных значений при для вычисления и частично с приближенностью, присущей математическому описанию реакции системы на скачкообразное внешнее воздействие при помощи уравнения диффузии [7]. Кроме цитированной выше работы Смита {15], посвященной одномерным задачам, другое и единственное обнадеживающее улучшение точности результатов расчетов на первых шагах, по-видимому, было достигнуто Томлином [2, 6], которому принадлежит идея введения фиктивных источников, схематично изображенных на рис. 9.4, вместе с НМГЭ.

Для того чтобы удовлетворить граничным условиям на при Томлин ввел дополнительные ячейки V, внешние по отношению к и являющиеся зеркальными отображениями прилегающих к границе внутренних ячеек Если распределения источников по совпадают, то реализуется граничное условие с нулевым начальным потоком (в противном случае составляющая начального градиента потенциала в направлении, перпендикулярном любой из сторон открытых треугольных ячеек, неограниченна! — см. § 9.7). Если интенсивности источников в I и равны по величине, но противоположны по знаку, то граничное значение потенциала равно нулю.

Томлин использовал прямолинейные граничные элементы и треугольные ячейки с постоянными или линейными распределениями по ним интенсивностей источников для решения разнообразных двумерных задач, в том числе для кусочно-однородных анизотропных сред. Как будет указано в примерах в § 9.8, он добился таким образом существенного повышения точности на ранних стадиях диффузионного процесса, вводя мгновенные треугольные источники (это означает, что уравнение (9.7) интегрировалось по треугольной ячейке) для моделирования распределенных внутренних источников и непрерывные «линейные» источники (т. е. уравнение (9.7) интегрировалось при этом одновременно по линейному элементу и времени) на их граничных элементах.

Последний прием приводил к тому, что на каждом шаге по времени фиктивные значения потенциала просто увеличивались на (рис. 9.4, б) в отличие от импульсного изменения от нуля в каждый момент времени. Хотя все эти нововведения основывались «а чисто физических соображениях, они оказались, безусловно, работоспособными. Более подробное описание алгоритма НМГЭ Томлина, использующего неявную процедуру пошагового изменения времени, можно найти в работе [6].

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление