Главная > Математика > Метод граничных элементов в прикладных науках
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

9.5. Соотношения непрямого МГЭ

Соотношения НМГЭ могут быть получены из соотношений ПМГЭ, что можно строго обосновать при помощи приема, впервые предложенного Ламбом [8].

Рис. 9.2. Внутренняя и внешняя области и нормали к их границе.

Рассмотрим дополнительную область внешнюю к V, имеющую с ней общую границу но не содержащую внутренних источников в которой начальные значения равны нулю (т. е. рис. 9.2). Если граничные распределения на общей поверхности областей обозначить, скажем, через то в согласно (9.11), будем иметь

где изменение знака перед обусловлено противоположностью направлений внешней нормали к и (рис. 9.2). Записывая одновременно (9.13) и (9.11) для произвольной внутренней точки V, получаем

Теперь мы можем выбрать и таким образом, что и ввести новую плотность распределения граничных источников и после суммирования уравнений (9.14) это дает

Так как симметрична относительно х и можно поменять их местами; при этом интегрирование будет проводиться по и уравнение (9.15) в развернутой записи будет иметь вид

Дифференцируя (9.16) по x и учитывая (9.4), мы можем вычислить компоненты потока в направлении в точке

Здесь аргументы такие же, как и в (9.16).

Окончательные соотношения НМГЭ получаются при устремлении на границе изнутри V, а именно

Отличие соотношений прямого и непрямого МГЭ от аналогичных соотношений для стационарного случая состоит только в следующем:

1) появляется интегрирование, обусловленное одним дополнительным измерением (временем) (что выражается свертками

2) соответствующим образом увеличивается размерность сингулярного решения;

3) в правой части окончательных уравнений появляются дополнительные слагаемые, порождаемые заданными внутри области начальными значениями потенциала

В принципе решение теперь строится так же, как и ранее, за исключением того, что с тем слагаемым в исходном уравнении, которое обусловливает зависимость от времени и переводит уравнение из эллиптического в параболическое, можно обращаться несколькими различными способами.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление