Главная > Математика > Метод граничных элементов в прикладных науках
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

8.9. Бесконечные граничные элементы

Хотя МГЭ позволяет учитывать границы, целиком находящиеся в бесконечности, без какой бы то ни было их дискретизации, для поверхностей, продолжающихся из области, представляющей основной интерес, в бесконечность, дискретизация должна заканчиваться на некотором произвольном расстоянии.

Рис. 8.16. Дискретизация поверхности полупространства.

При этом предполагается, что вне полученной таким образом границы рассматриваемая область остается связанной с безграничным пространством.

Для того чтобы исключить подобного рода трудности, Уотсой предложил использовать бесконечные граничные элементы. Типичный пример введения таких элементов приводится на рис. 8.16 [7], где показана дискретизация для задачи о полупространстве, однородно нагруженном по прямоугольной области. Для моделирования каждого квадранта поверхности были использованы по три граничных элемента конечного размера и два бесконечных граничных элемента.

Для бесконечных линейных элементов предполагалось, что изменения описываются соотношениями (рис. 8.17, а)

Рис. 8.17. (см. скан) Асимптотические функции на бесконечном элементе, а — плоская задача; б - трехмерная задача.

где положение узла расстояние от этого узла до произвольно выбранной точки расстояние между значения в узле 1. Ясно, что формулы (8.54) определяют величины, асимптотически стремящиеся к нулю на бесконечности.

Аналогично для бесконечного поверхностного элемента (рис. предполагались следующие изменения переменных:

где соответствует точке

Выражения, стоящие в квадратных скобках, играют роль базисных функций для смещений и сил на этих элементах.

Для того чтобы при вычислении интегралов по бесконечным элементам можно было бы воспользоваться квадратурной формулой для конечного интервала эти элементы необходимо

преобразовать. Для линейных интегралов это может быть достигнуто путем перехода к переменной [7]:

Тогда якобиан дается выражением

Для бесконечных поверхностных элементов в трехмерном случае преобразование имеет вид

а соответствующий ему якобиан — вид

Формулы (8.56) — (8.59) позволяют нам выполнить преобразование. Для приложений НМГЭ изменения по данным бесконечным граничным элементам могут быть приняты такими же, как и изменения определенные соотношениями (8.54) и (8.55).

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление