Главная > Математика > Метод граничных элементов в прикладных науках
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

8.7. Криволинейные преобразования и базисные функции

8.7.1. Линейные элементы

Рассмотрим в качестве примера преобразование вектора координат заданного своими кохмпонентами: некоторохм числе геохметрических узлов а вдоль каждого линейного элемента; это число узлов должно быть достаточным для описания порядка изхменения посредством полной полиномиальной интерполяционной функции. Последнее означает, что для произвольного линейного элемента мы должны Ихметь на нехм: два узла — в случае линейного изменения каждой компоненты три — в случае квадратичного, четыре — в случае кубического, пять — в случае изменения четвертого порядка и т. д. Так, для вдоль элемента, показанного на рис. 8.9, а, в случае квадратичного изменения подходящей интерполяционной функцией может бытьр в случае изменения третьего порядка к ней надо

Рис. 8.9. Линейные элементы.

добавить Повторяя те же выкладки, что и при выводе уравнения (8.32), мы придем к следующему набору базисных функций или Ниже приводятся их выражения одновременно через нормированные координаты и однородные линейные координаты (§ 8.4; ) для равномерного распределения узлов вдоль элемента длины занумерованных, как показано на рис. 8.9 (на рис. 8.9, б начало отсчета гц берется в центре элемента).

Линейное изменение

Квадратичное (второго порядка) изменение

Кубическое (третьего порядка) изменение

Для каждого из этих преобразований может быть вычислена матрица Якоби, однако для криволинейных элементов элементы матрицы уже не будут постоянными. При использовании однородных линейных координат элементы матрицы имеют вид

8.7.2. Плоские треугольные ячейки

Так как в этом случае вывод формул почти не отличается от только что приведенного, ниже будут просто представлены результаты, выраженные через координаты «в площадях»

Рис. 8.10. Плоские ячейки.

Линейное изменение (§ 8.4) )

Квадратичное изменение Полная полиномиальная интерполяционная функция имеет в этом случае шесть членов, и потому требуется шесть узлов, показанных на рис. 8.10, а:

отсюда находим для

Кубическое изменение Полная полиномиальная интерполяционная функция имеет десять членов, и, следовательно, число узлов также должно быть равно десяти; на рис. 8.10, а по четыре узла находятся на каждой стороне треугольника (чтобы обеспечить кубическое изменение) и один — в его центре тяжести. Базисные функции имеют вид

Все приведенные выше формулы заимствованы из книги Зенкевича [1], где для «треугольных» элементов выведено рекуррентное соотношение, связывающее (для элемента порядка) и (для элемента порядка), что позволяет строить «треугольные» элементы любого порядка.

8.7.3. Плоские четырехугольные ячейки

Хотя в МГЭ внутренние ячейки менее важны, чем граничные, проще, не делая исключений, завершить уже начатое их исследование.

Рис. 8.11. Четырехугольные ячейки.

В нашей схеме расположения узлов для обеспечения изменения второго порядка (рис. 8.11, а) требуется по три узла на каждой стороне (полное их число равно восьми) и, следовательно, интерполяционная функция должна иметь вид, скажем,

что при равномерном (как и ранее) распределении узлов на сторонах четырехугольника приводит к следующим базисным функциям.

Линейное изменение

Здесь для параллелограмма координаты «в площадях» определяются так же, как и в § Следует отметить, что при помощи четырехугольник произвольного вида (рис. 8.11, б) также может быть преобразован в квадрат в системе координат значит, наши результаты не ограничиваются ячейками, имеющими формулу параллелограмма.

Квадратичное изменение

Кубическое изменение

8.7.4. Трехмерные ячейки

(а) Тетраэдральные ячейки. Соотношения для них получаются путем непосредственного обобщения результатов для криволинейных треугольников точно так же, как формулы преобразования тетраэдров с прямолинейными ребрами в § 8.4 следуют из формул для треугольников.

Рис. 8.12. Тетраэдральные ячейки.

Таким образом, в «объемных» координатах (§ 8.4, рис. 8.5, б) при равномерном распределении узлов на ребрах тетраэдра (рис. 8.12) мы будем иметь следующие соотношения.

Линейное изменение

Квадратичное изменение

Кубическое изменение

(б) Гексаэдральные ячейки. Они являются обобщением четырехугольных ячеек, рассмотренных в разд. 8.7.3. Обозначения узлов показаны на рис. 8.13.

Рис. 8.13. Гексаэдральные ячейки.

Линейное изменение

Квадратичное изменение Узлы

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление