Главная > Математика > Метод граничных элементов в прикладных науках
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

8.5. Интерполяционные функции

Интерполяционные функции являютсяч аппаратом для построения весьма полезных «криволинейных» базисных функций. Снова простейшим введением в технику их применения может быть исследование линейных внутренних ячеек, на этот раз параллелограммов (в двумерном случае) и параллелепипедов (в трехмерном).

Рассмотрим ячейку в виде обычного параллелограмма (рис. 8.7, а). Будем искать набор функций значения некоторой функции в каждом из узлов , таких, что на квадрате в системе координат функция выражается следующим образом:

тогда будет изменяться линейно вдоль каждой стороны квадрата

Рис. 8.7. Ячейка в форме параллелограмма.

при этом для удовлетворения условию в каждом узле а нам необходимо будет определить четыре функции

Эта интерполяционная функция может быть использована для построения базисных функций для так называемых «линейных» прямоугольных элементов. Для построения большинства базисных функций более общего вида, используемых в методах конечных элементов, прибегают к выражениям более высокого порядка [1, 5, 6]. Так как в каждом узле в координатах мы имеем по одному узловому значению ( отвечает узлу ; см. рис. 8.7,б), то, очевидно, можно найти четыре функции из уравнений вида (например, для узла 1) После отыскания соотношение (8.31) можно переписать в виде

где каждая из базисных функций будет теперь функцией результате выполнения этих операций будем иметь

где второе (обобщенное) выражение представляет собой наиболее удобную и полезную форму записи всего набора функций (всегда равно совпадает со знаком координаты в узле а и т. д. (рис. Ни в одном из этих выражений суммирование по а не производится.

Отметим два важных свойства (8.33), присущие всем подобным базисным функциям.

1. Каждая функция принимает единичное значение в узле а и равна нулю во всех остальных узлах (т. е. влияние всех проявляется независимо).

2. Сумма значений базисных функций внутренней точке элемента. Это гарантирует «полноту» полинома, отвечающего интерполяционной функции, что в свою очередь является необходимым условием допустимости преобразования для такой базисной функции.

Если вместо мы имеем поле смещений заданное своими узловыми значениями т. е.

то у нас появляется возможность использовать более сложные криволинейные элементы в X, так как мы можем в принципе взять в (8.31) более сложный полином, обладающий свойством полноты, подобрать число членов а в соответствии с числом узловых

значений а затем выписать уравнения для базисных функций, отвечающие соотношению (8.34) в пространстве любой размерности.

Рис. 8.8. Ячейка в форме параллелепипеда.

Уравнения, соответствующие (8.31) и (8.33) в случае преобразования трехмерного параллелепипеда, показанного на рис. 8.8, а, и связанные с ними «линейные» базисные функции можно легко получить при похмощи следующей интерполяционной функции, содержащей восехмь требующихся для этой цели членов:

Тогда базисные функции имеют вид

где знаки совпадают со знаками компоненты вектора координат узлов в принятой схеме их нумерации (рис. 8.8,б) (например, узлу 2 отвечает ). Снова в узле с номером в оггатьных узлах, а также всегда

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление