Главная > Математика > Метод граничных элементов в прикладных науках
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

8.3. Преобразование дифференциальных элементов объема, площади и линии

8.3.1. Внутренние ячейки

На рис. 8.2 показано преобразование некоторых дифференциальных элементов линии, площади и объема при переходе от одного из пространств к другому. Так как в все эти элементы имеют более простую геометрическую форму урбнее вместо величин (а также ), входящих в основные соотношения МГЭ, использовать их отображения в в качестве которых всегда могут быть выбраны одинаковые «единичные» элементы независимо от размера их прообразов в Хотя именно неплоские поверхностные ячейки (в трехмерном случае) и граничные линейные элементы (в двумерном) определяют главные индивидуальные черты МГЭ, проще все-таки иметь дело с ними после соответствующего преобразования ячеек объема (в трехмерном случае) и площади (в двумерном). Рассмотрим в объемный

Рис. 8.2. Отображение элементов из

дифференциальный элемент (рис. 8.2, а), который переходит в элементарную криволинейную ячейку объема в Согласно рис. 8.2, б,

где единичные базисные векторы в соответственно. В соответствии с правилами векторной алгебры найдем объем элементарной ячейки:

Подставляя сюда соотношение (8.12) и эквивалентные выражения для получим

так что

где индекс V, добавленный к якобиану означает, что последний относится к преобразованию объема. Если мы рассмотрим в плоскую двумерную элементарную ячейку площади (рис. 8.2, в), то соответствующее правило преобразования приведет нас к результату

отличающемуся от (8.13) лишь заменой индекса.

8.3.2. Граничные поверхностные ячейки

Граничную поверхностную ячейку (в трехмерном пространстве) элемента площади следует каждый раз отличать от двумерной ячейки (элемента так как не является плоским в X, хотя является плоским и ограниченным ортами (рис. 8.2, в). Снова используя известное соотношение векторной алгебры

в соответствии с (8.13) получаем

являются остальными минорами второго порядка основной матрицы Якоби (т. е. теми, которые содержат производные лишь по соответственно.

Уравнение (8.15), как видно, существенно отличается от (8.14) и сводится к нему лишь в том случае, когда все производные по равны нулю, так что снова

8.3.3. Линейные сегменты

Преобразование произвольного элемента длины при переходе из непосредственно находится из соотношения (8.5):

При вычислении линейных интегралов от ядер и базисных функций, зависящих от С, мы должны будем по аналогии с преобразованием (8.15) выбрать направление элемента в пространстве Поэтому, если будет направлен, например, вдоль то

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление