Главная > Математика > Метод граничных элементов в прикладных науках
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

6.6. Дискретизация

6.6.1. Общие положения

Мы можем разделить поверхность тела на плоские треугольные элементы, построить локальную систему координат, как описано в гл. 5 (разд. 5.4.1), и предположить, что на каждом элементе параметры и меняются линейно. Поэтому основной алгоритм идентичен рассмотренному в гл. 5 алгоритму решения трехмерной задачи о потенциальном течении. Для простоты будем предполагать, что объемные силы, начальные напряжения и т. п. отсутствуют.

6.6.2. Линейные базисные функции

Если предположить, что на (например) граничном элементе неизвестные фиктивные интенсивности меняются линейно, то имеем [30]

трехмерный вектор фиктивных усилий в произвольной точке внутри элемента, имеющий компоненты по осям

матрица размером

девятимерный вектор-столбец узловых значений 9. Тогда дискретизованные формы соответствующих граничных интегралов можно получить рассмотренным в гл. 4 способом.

6.6.3. Вычисление некоторых интегралов

Схемы интегрирования функций, не обладающих особенностями и обладающих ими, будут идентичны схемам, рассмотренным в предыдущих главах. В случае когда подынтегральные выражения остаются конечными на всем интервале интегрирования, применяются формулы численного интегрирования. Сингулярный случай, когда точка поля совпадает с узлом, в котором базисная функция стремится к единице, следует выделить особо; в этом случае интегрирование должно проводиться аналитически (см. разд. 4.4.2 и 5.4.4).

(а) Вычисление или .

Введем локальную систему координат (рис. 6.2): оси в плоскости элемента и ось по направлению нормали в рассматриваемом узле [5]; тогда

где соответственно направляющие косинусы осей в глобальной системе координат.

Рис. 6.2.

Перепишем интеграл в виде

где Поэтому

(б) Вычисление или Здесь мы в точности следуем методу вычисления этих интегралов, предложенному Крузом 15]. Для плоского элемента поэтому функция сводится к

Используя тождества

где перестановочный тензор (тензор Леви-Чивиты, см. приложение А):

мы можем записать интеграл в виде

Используя теорему Стокса, преобразуем этот интеграл в контурный:

Вводя вдоль стороны локальные переменные имеем

Окончательный результат получается такой переориентацией локальной системы координат, что поочередно совпадает со сторонами треугольника. Эти результаты затем выражаются через координаты точки поля и координаты узлов. Ясно, что (6.46) можно использовать для аналогичного вычисления интеграла в случае плоского четырехугольного элемента.

Так как нормаль не меняет направления на нашем плоском элементе (т. е. не существенно, берется ли нормаль в точке приложения нагрузки или в точке поля) и легко показать, что для этого локального элемента

Поэтому в НМГЭ можно использовать тот же результат для элемента, изменив знак.

Если в (6.46) точка поля берется внутри области, то разрывные члены, возникающие из-за рассмотрения этого интеграла как несобственного, получаются автоматически.

Читатель должен отметить, что интегралы в (5.14) и (6.45) подобны.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление