Главная > Математика > Метод граничных элементов в прикладных науках
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

5.4.4. Точное интегрирование

Если произведение ядра на базисную функцию становится неограниченным где-нибудь внутри интервала интегрирования, то численное интегрирование невозможно. Хотя при этом иногда можно слегка сместить точку наблюдения внутрь области, так что подынтегральное выражение останется ограниченным и соответствующее непрерывное (быстро меняющееся) произведение ядра на базисную функцию можно будет проинтегрировать с помощью квадратурной формулы более высокого порядка точности, подобные процедуры применять не рекомендуется. Такие интегралы предпочтительнее всего вычислять аналитически.

Мы можем проделать это путем описанного в гл. 4 явного выделения особенности в произведении ядра на базисную функцию; соответствующие сингулярные части интегралов вычислены ниже.

Рис. 5.3.

(а). Вычисление или В силу симметричности функции по аргументам результаты интегрирования по любому из них будут совпадать, и, следовательно, достаточно рассмотреть лишь один из интегралов.

Вводя локальную полярную систему координат, связанную с элементом, как показано на рис. 5.3, мы можем представить интеграл в виде

(б) Вычисление Оба этих интеграла содержат сильные особенности и поэтому существуют только в смысле главного значения по Коши. Они могут быть вычислены путем исключения из области интегрирования произвольной малой окрестности вокруг особой точки и последующего перехода к пределу при т. е.

Легко показать, что первый интеграл в правой части уравнения (5.13) не дает вклада в систему уравнений, тогда как второй

Рис. 5.4.

интеграл определяет разрывный член и равен где — величина телесного угла с вершиной в узле (см. гл. 3).

С другой стороны, если мы слегка сместим точку наблюдения внутрь области в узел, показанный на рис. 5.4, то интегралы существуют в обычном смысле, и, следовательно, в формуле (5.10) и в формуле (5.11) (так как точка наблюдения находится уже внутри области, хотя и очень близко к поверхности). Снова введем локальную систему координат связанную с узловой точкой рассматриваемого элемента (рис. 5.4) таким образом, что направлены так, как показано на рис. 5.4, а по нормали к поверхности элемента. Для произвольной точки наблюдения эти интегралы можно вычислить аналитически. Прежде всего заметим, что интеграл

где глобальные компоненты нормали к контуру С, окружающему область

Вдоль стороны мы имеем

где

Окончательный результат получается такол переориентацией локальной системы координат, что ось поочередно совпадает со сторонами треугольника. Значение каждого из интегралов выражается при этом через координаты точки наблюдения и соответствующего узла.

Выражение (5.15) сходным образом, очевидно, может быть использовано также для вычисления интеграла по плоскому четырехугольному элементу. Хесс и Смит [3] вычислили также контурный интеграл в формуле (5.14) и получили точное аналитическое выражение для

Для того чтобы вычислить интеграл заметим, что:

1) для плоских элементов нормаль в этом ядре может быть вынесена из-под знака интеграла;

2) при перемене мест аргументов ядро лишь меняет знак. Следовательно,

Результат интегрирования этого простого выражения является чрезвычайно важным. В гл. 8 и 15 мы увидим, что даже в тех случаях, когда для геометрических и граничных параметров применяются представления более высокого порядка, всегда можно воспользоваться этим решением, выделив часть, отвечающую сильной особенности. Оставшиеся интегралы, в которых учитываются изменения кривизны и значений функций на границе, могут быть найдены численно.

В прямом методе в принципе можно вычислить полный вклад в диагональные элементы матриц окончательной системы уравнений при условии постоянства потенциала на каждом элементе, как это делалось в гл. 3 и 4.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление