Главная > Математика > Метод граничных элементов в прикладных науках
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

4.4. Непрямой метод граничных элементов

4.4.1. Основные соотношения для однородной изотропной области

Рассмотрим двумерную область V, заполненную изотропным линейно-упругим однородным материалом и ограниченную «поверхностью» к которой приложены распределенные по усилия Смещения любой внутренней точки (рис. 4.2), обусловленные действием поверхностных усилий и известного распределения объемных сил можно получить сверткой фундаментальных решений с функциями и по соответственно:

где означают, что интегрирование ведется по переменным соответственно. Величины представляют собой неизвестные смещения тела как целого, возникающие из-за произвольности выбора в уравнении (4.7) [т. е. из-за того, что это уравнение дает лишь относительные значения аналогично задачам, которые мы рассматривали в гл. 2 и 3].

Рис. 4.2.

Деформации можно получить из соотношения

Соответствующие напряжения в точке и поверхностные усилия на проходящей через точку поверхности с внешней нормалью выражаются формулой

откуда, используя соотношения получаем

Перед тем как продолжить изложение, зададим себе следующие вопросы:

1) Удовлетворяют ли интегралы, входящие в соотношения (4.11) — (4.14), дифференциальным уравнениям задачи во всей интересующей нас области?

2) Существуют ли эти интегралы во всей области V и на всей поверхности

Очевидно, что поверхностные интегралы в (4.11) — (4.14) удовлетворяют уравнениям равновесия и совместности во всей области V, потому что фундаментальные решения, с помощью которых они получены, удовлетворяют этим уравнениям. Эти интегралы содержат также функции, непрерывные и определенные для всех положений в В отношении поведения объемных интегралов в области V нужно отметить, что они содержат функции, обращающиеся в бесконечность при (т. е. при совпадении точки приложения нагрузки и точки наблюдения). Тем не менее эти интегралы действительно существуют в обычном смысле, поскольку в процессе интегрирования по объему особенности пропадают (т. е. члены порядка являются слабой особенностью при интегрировании по объему). Поэтому эти интегралы также удовлетворяют уравнениям равновесия и совместности в

Условиям единственности решения, отражающим тот факт, что влияние распределенных сил и усилий не должно распространяться на бесконечность, удовлетворяют интегралы из уравнений (4.12) — (4.14). Уравнение (4.11) будет удовлетворять этим условиям, если потребовать, чтобы компоненты С смещения тела как твердого целого принимали специальные значения, которые в точности компенсируют совместное влияние всех сил и усилий [4, 5] на бесконечности. Эти значения можно определить при помощи дополнительных уравнений, подобно тому как это делалось в гл. 2 и 3. Однако нужно еще установить существование этих интегралов при приближении точки к некоторой точке границы, скажем к точке

Устремляя точку наблюдения к поверхности, мы найдем, что, хотя уравнение (4.11) дает непрерывные в любой точке поля смещений, выражения (4.12) — (4.14) не определены на поверхности, если точка приложения нагрузки и точка наблюдения совпадают. Используя стандартные методы теории потенциала (см. гл. 3), можно получить, например,

если выполняются следующие условия 16, 71:

1) точка расположена не на ребре и не в углу (т. е. в этой точке существует единственная касательная плоскость);

2) поверхностный интеграл в (4.16) следует понимать в смысле главного значения по Коши.

Выражение в (4.16) положительно, если приближается к изнутри и отрицательно, если х приближается к извне Поэтому необходимо выбирать подходящий знак в зависимости от того, какая область представляет для нас интерес: внутри поверхности или вне ее.

Итак, мы установили, что уравнения (4.15) и (4.16) являются двумя граничными интегральными уравнениями, определяющими решение любой корректно поставленной задачи при использовании непрямого МГЭ. Например, если заданы смещения на то уравнение (4.15) позволяет получить значения с другой стороны, если на заданы усилия, то для вычисления используется уравнение (4.16). В случае общей задачи со смешанными граничными условиями уравнение (4.15) можно использовать для той части границы, где задаются смещения, а уравнение (4.16) — для той части границы, где задаются усилия. Результирующие уравнения в этом случае объединяются и решаются совместно так, как это описано в гл. 2 для одномерной задачи.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление