Главная > Математика > Метод граничных элементов в прикладных науках
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

4.3. Фундаментальные сингулярные решения

Фундаментальные сингулярные решения уравнений теории упругости играют такую же важную роль в алгоритмах МГЭ, как и их аналоги в рассмотренных ранее задачах о потенциальном течении. Классическим результатом, составляющим основу всего последующего анализа, является решение, которое определяет поле смещений при действии единичной сосредоточенной силы в упругом теле. В условиях плоской деформации [3]

где

причем произвольный постоянный тензор, компоненты которого можно определить из условия, что на некотором расстоянии от точки приложения нагрузки смещения равны нулю (т. е. уравнение (4.7) определяет смещения только относительно

Деформации, соответствующие описанному выше полю

смещений, можно получить подстановкой выражения (4.7) в соотношение (4.3), связывающее деформации и смещения, что дает

где

Соответствующие этим деформациям напряжения можно получить из зависимости между напряжением и деформацией

где

причем

Нам также понадобятся усилия в точке поверхности с внешней нормалью которые вычисляются из соотношения

где в нашем случае

Уравнения (4.7) — (4.10) дают все требующиеся нам смещения, напряжения, деформации и компоненты поверхностных усилий, обусловленные действием сосредоточенной силы. Решение, соответствующее условиям плоского напряженного состояния, можно получить из приведенного выше решения для случая плоской деформации, если ввести эффективный коэффициент Пуассона

Стоит отметить, что различные функции являются сингулярными, когда точка приложения нагрузки и точка наблюдения совпадают Функция содержит член (слабая особенность), а другие функции — члены порядка (сильная особенность). Интегралы от функций со слабой особенностью будут всегда существовать как несобственные даже при для интегралов же от функций с сильной особенностью надо специально определить, как вычислять их предельные значения при стремлении точки наблюдения к точке приложения нагрузки на границе. Эти свойства решений уравнений теории упругости совершенно аналогичны уже выявленным свойствам решений уравнений, описывающих потенциальное течение.

Читателя может смутить, казалось бы, излишняя сложность уравнения (4.7), но его в конце концов можно переписать в векторно-матричной форме как Поскольку вектор деформации тоже можно представить в виде уравнение (4.8) можно записать в виде

Однако, для того чтобы пользоваться этим уравнением, нужно проделать отдельно каждую из дифференциальных операций над каждым членом в что не с шиком просто, если представляет собой весьма сложную функцию. С другой стороны, после того как читатель ознакомится с индексными обозначениями (см. начало приложения А), ему станет ясно, что выражения вида действительно оказываются лаконичным представлением функций в форме, удобной для программирования на ЭВМ.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление