Главная > Математика > Метод граничных элементов в прикладных науках
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

3.6. Эквивалентность непрямого и прямого методов граничных элементов

Для удобства снова выпишем основное соотношение (3.30) § 3.5, в случае ПМГЭ дающее выражение для в некоторой точке внутри А, но теперь поменяем местами символы х и

Рассмотрим область А с границей внешнюю по отношению к в которой отсутствуют источники, и предположим, что является решением уравнения Лапласа в области А. Точное повторение выкладок, приводящих к уравнению (3.31) и состоящих в интегрировании по но уже с точкой наблюдения внутри А, дает эквивалентное уравнение

где в отличие от уравнения (3.30)

1) последний член равен нулю, так как

2) знак члена, содержащего изменен на противоположный в связи с изменением направления внешней нормали при переходе от области А к

3) правая часть равна нулю, так как точка теперь лежит вне

Если является решением в А и принимает на те же самые граничные значения, что и в нашей исходной задаче для внутренней области (т. е. ), то, подставив в наше второе уравнение вместо и складывая результат с (3.30), получим

Таким образом,

где

Это соотношение отличается от уравнения (3.7), используемого в НМГЭ, лишь отсутствием произвольной постоянной С. Все последующие операции НМГЭ, связанные с вычислением потока, перемещением точек наблюдения на границу и т. д., теперь формально следуют из уравнения (3.7), и поэтому НМГЭ можно считать столь же строго обоснованным, как и ПМГЭ. Интересующемуся читателю можно порекомендовать обратиться к книге Ламба [13], в которой используются почти идентичные приведенным выше доводы.

В этой книге мы везде будем излагать наши формулировки НМГЭ в простой, физически понятной форме, использованной в гл. 2 и в настоящей главе, хотя во всех до единого случаях они могут быть формально обоснованы так же, как это только что было сделано выше. Интересно отметить, что, считая и решением внутри А, совпадающим на границе и, мы сразу же получаем вторую формулировку основного соотношения непрямого метода:

где . К сожалению, последующее использование соотношения (3.306) связано со значительными вычислительными трудностями, поэтому подобный альтернативный подход не будет рассматриваться в дальнейшем.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление